Matematika A3a 2009/9. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→Szeparábilis differenciálegyenlet)
(→Szeparábilis differenciálegyenlet)
20. sor: 20. sor:
 
:<math>y(x)=\mathrm{arccos}\frac{1}{\sqrt[3]{x^3+\frac{24}{(\sqrt{2})^3}}}</math>
 
:<math>y(x)=\mathrm{arccos}\frac{1}{\sqrt[3]{x^3+\frac{24}{(\sqrt{2})^3}}}</math>
 
c) ugyanez + 2&pi;
 
c) ugyanez + 2&pi;
 +
 +
'''HF.''' Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az
 +
:a) y(0)=1,
 +
:b) y(0)=e
 +
kezdeti feltételek mellett!
 +
==Homogén fokszámú egyenlet==
 +
Azt mondjuk, hogy az y' = F(x,y) egyenlet homogén fokszámú, ha
 +
:<math>F(\lambda x,\lambda y)=F(x,y)\,</math>
 +
A homogén fokszámú egyenlet megoldása visszavazethető a szeparálásra az
 +
:<math>u=\frac{y}{x}\,</math>
 +
új változó bevezetésével, ahol ''u'' = ''u''(''x'') az ismeretlen függvény. Ekkor
 +
:<math>(xu)'=u+xu'=y'\,</math>
 +
azaz
 +
:<math>y'=u'x+u\,</math>
 +
 +
'''2.''' Oldjuk meg az
 +
:<math>y'xy=x^2+y^2\,</math>
 +
egyenletet!
 +
 +
''Mo.'' Az új változóra történő áttérésnél az y<sup>2</sup>-nak már nem szabad szerepelnie az egyenletben, ezért, hogy ne féljen egyedül, szorozzunk be az egyenletet 1/x<sup>2</sup>-tel:
 +
:<math>y'\frac{y}{x}=1+\frac{y^2}{x^2}\,</math>
 +
:<math>(u'x+u)u=1+u^2\,</math>
 +
:<math>u'ux=1+2u^2\,</math>
 +
:<math>u'=\frac{1}{x}\frac{1+u^2}{u}\,</math>
 +
ezt kell megoldani. Feltehető, hogy y(x) függvény nem veheti fel a nullát, így az u sem. Ekkor szeparálással:
 +
:<math>\frac{u}{1+u^2}u'=\frac{1}{x}\,</math>
 +
:<math>\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,1+u^2=c+\mathrm(ln)\,x\,</math>
 +
:<math>\mathrm{ln}\sqrt{1+u^2}=\mathrm(ln)\,Cx\,</math>
 +
:<math>\sqrt{1+u^2}=Cx\,</math>
 +
:<math>u(x)=\pm(Cx-1)^2\,</math>

A lap 2009. november 16., 11:23-kori változata

Szeparábilis differenciálegyenlet

1. Oldjuk meg az

y'=x^2\frac{\cos^4 y}{\sin y}

egyenletet az

a) y(0)=-\frac{\pi}{2}
b) y(0)=\frac{\pi}{4}
c) y(0)=\frac{\pi}{4}+2\pi

Mo. a) Ez egykonstans megoldás és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.

b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:

\frac{\sin y}{\cos^4 y}y'=x^2
-\cos^{-4} y(-\sin y)\,y'=x^2
\frac{1}{3}\cos^{-3} y=\frac{1}{3}x^3+C

Az implicit egyenlet:

cos − 3y = x3 + 3C

Ha x=0 és y=π/4, akkor

3C=\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^3}

és

y(x)=\mathrm{arccos}\frac{1}{\sqrt[3]{x^3+\frac{24}{(\sqrt{2})^3}}}

c) ugyanez + 2π

HF. Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az

a) y(0)=1,
b) y(0)=e

kezdeti feltételek mellett!

Homogén fokszámú egyenlet

Azt mondjuk, hogy az y' = F(x,y) egyenlet homogén fokszámú, ha

F(\lambda x,\lambda y)=F(x,y)\,

A homogén fokszámú egyenlet megoldása visszavazethető a szeparálásra az

u=\frac{y}{x}\,

új változó bevezetésével, ahol u = u(x) az ismeretlen függvény. Ekkor

(xu)'=u+xu'=y'\,

azaz

y'=u'x+u\,

2. Oldjuk meg az

y'xy=x^2+y^2\,

egyenletet!

Mo. Az új változóra történő áttérésnél az y2-nak már nem szabad szerepelnie az egyenletben, ezért, hogy ne féljen egyedül, szorozzunk be az egyenletet 1/x2-tel:

y'\frac{y}{x}=1+\frac{y^2}{x^2}\,
(u'x+u)u=1+u^2\,
u'ux=1+2u^2\,
u'=\frac{1}{x}\frac{1+u^2}{u}\,

ezt kell megoldani. Feltehető, hogy y(x) függvény nem veheti fel a nullát, így az u sem. Ekkor szeparálással:

\frac{u}{1+u^2}u'=\frac{1}{x}\,
\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,1+u^2=c+\mathrm(ln)\,x\,
\mathrm{ln}\sqrt{1+u^2}=\mathrm(ln)\,Cx\,
\sqrt{1+u^2}=Cx\,
u(x)=\pm(Cx-1)^2\,
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A3a_2009/9._gyakorlat&oldid=5852”
Személyes eszközök