Matematika A3a 2009/9. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Homogén fokszámú egyenlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Homogén fokszámú egyenlet) |
||
46. sor: | 46. sor: | ||
ezt kell megoldani. Feltehető, hogy y(x) függvény nem veheti fel a nullát, így az u sem. Ekkor szeparálással: | ezt kell megoldani. Feltehető, hogy y(x) függvény nem veheti fel a nullát, így az u sem. Ekkor szeparálással: | ||
:<math>\frac{u}{1+u^2}u'=\frac{1}{x}\,</math> | :<math>\frac{u}{1+u^2}u'=\frac{1}{x}\,</math> | ||
− | :<math>\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,1+u^2=c+\mathrm{ln}\,x\,</math> itt ''c'' tetszőleges valós szám | + | :<math>\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,1+u^2=c+\mathrm{ln}\,|x|\,</math> itt ''c'' tetszőleges valós szám |
− | :<math>\mathrm{ln}\sqrt{1+u^2}=\mathrm{ln}\, | + | :<math>\mathrm{ln}\sqrt{1+u^2}=\mathrm{ln}\,C|x|\,</math> itt ''C'' tetszőleges pozitív szám éspedig ln ''c'' = ''C''. |
− | :<math>\sqrt{1+u^2}= | + | :<math>\sqrt{1+u^2}=C|x|\,</math> |
− | :<math>u(x)=\pm( | + | :<math>u(x)=\pm(C|x|-1)^2\,</math> |
− | :<math>y(x)=\pm x( | + | :<math>y(x)=\pm x(C|x|-1)^2\,</math> |
− | ''Az egzisztencia és unicitás diszkussziója.'' a szeparálással kapott általános megoldás minden '''R''' | + | ''Az egzisztencia és unicitás diszkussziója.'' a szeparálással kapott általános megoldás minden '''R'''\{0}×'''R'''-beli kezdeti értékre egyértelmű megoldást ad. |
− | x<sub>0</sub>=0,y<sub>0</sub>=0 | + | Ha x<sub>0</sub>=0, akkor y<sub>0</sub>=0 kell, hogy legyen ellenkező esetben nincsmegoldás. De ekkor is irreguláris a megoldás, mert két megoldás is kielégíti ott az egyenletet: |
+ | :<math>y'_1(0)=(C^2x^3-2Cx|x|+x)'|_0=1</math> | ||
+ | :<math>y'_2(0)=(-C^2x^3+2Cx|x|-x)'|_0=-1</math> | ||
+ | miközben miközben mindkettő a 0-ban a 0-t veszi föl. |
A lap 2009. november 16., 11:02-kori változata
Szeparábilis differenciálegyenlet
1. Oldjuk meg az
egyenletet az
- a)
- b)
- c)
Mo. a) Ez egykonstans megoldás és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.
b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
Az implicit egyenlet:
- cos − 3y = x3 + 3C
Ha x=0 és y=π/4, akkor
és
c) ugyanez + 2π
HF. Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az
- a) y(0)=1,
- b) y(0)=e
kezdeti feltételek mellett!
Homogén fokszámú egyenlet
Azt mondjuk, hogy az y' = F(x,y) egyenlet homogén fokszámú, ha
A homogén fokszámú egyenlet megoldása visszavazethető a szeparálásra az
új változó bevezetésével, ahol u = u(x) az ismeretlen függvény. Ekkor
azaz
2. Oldjuk meg az
egyenletet!
Mo. Az új változóra történő áttérésnél az y2-nak már nem szabad szerepelnie az egyenletben, ezért, hogy ne féljen egyedül, szorozzunk be az egyenletet 1/x2-tel:
ezt kell megoldani. Feltehető, hogy y(x) függvény nem veheti fel a nullát, így az u sem. Ekkor szeparálással:
- itt c tetszőleges valós szám
- itt C tetszőleges pozitív szám éspedig ln c = C.
Az egzisztencia és unicitás diszkussziója. a szeparálással kapott általános megoldás minden R\{0}×R-beli kezdeti értékre egyértelmű megoldást ad.
Ha x0=0, akkor y0=0 kell, hogy legyen ellenkező esetben nincsmegoldás. De ekkor is irreguláris a megoldás, mert két megoldás is kielégíti ott az egyenletet:
- y'1(0) = (C2x3 − 2Cx | x | + x)' | 0 = 1
- y'2(0) = ( − C2x3 + 2Cx | x | − x)' | 0 = − 1
miközben miközben mindkettő a 0-ban a 0-t veszi föl.