Matematika A3a 2009/9. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Cauchy-típusú integrálok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Cauchy-típusú integrálok) |
||
64. sor: | 64. sor: | ||
==Cauchy-típusú integrálok== | ==Cauchy-típusú integrálok== | ||
'''3.''' | '''3.''' | ||
− | :<math>\int\limits_{|z|=3}\frac{1}{z^2(z^2-6z+8)}\,\mathrm{d}z=?</math> | + | :a) <math>\int\limits_{|z|=3}\frac{1}{z^2(z^2-6z+8)}\,\mathrm{d}z=?</math> |
− | ''Mo.'' | + | :b) Osztályozzuk az intergandus szakadási helyeket |
+ | :c) Adjuk meg ezekben a pontokban a reziduumokat! | ||
+ | ''Mo.'' a) | ||
:<math>f(z)=\frac{1}{z^2(z^2-6z+8)}=\frac{1}{z^2(x-2)(z-4)}</math> | :<math>f(z)=\frac{1}{z^2(z^2-6z+8)}=\frac{1}{z^2(x-2)(z-4)}</math> | ||
A nevező gyökhelyein lesz irreguláris ''f'', de ezek közül csak a |z|=3 kör által körülhurkolt z=0 és z=2 helyekkel kell foglalkoznunk, melyk köré egy-egy mondjuk 1 sugarú (vagy elegendően kicsiny ε sugarú) kört vonunk, és használjuk az integrál additivitását: | A nevező gyökhelyein lesz irreguláris ''f'', de ezek közül csak a |z|=3 kör által körülhurkolt z=0 és z=2 helyekkel kell foglalkoznunk, melyk köré egy-egy mondjuk 1 sugarú (vagy elegendően kicsiny ε sugarú) kört vonunk, és használjuk az integrál additivitását: | ||
79. sor: | 81. sor: | ||
Tehát | Tehát | ||
:<math>*=-2\pi i\frac{1}{16}+2\pi i\frac{3}{32}=\frac{\pi i}{16}</math> | :<math>*=-2\pi i\frac{1}{16}+2\pi i\frac{3}{32}=\frac{\pi i}{16}</math> | ||
+ | b) 2 és 4 elsőrendű pólus, 0 másodrendű. | ||
+ | |||
+ | c) 0-ban és 2-ben az integrál 2πi-vel eloszott értéke a reziduum, 4-ben most nem számoljuk ki, de a 2-höz hasonlóan kell eljárni. | ||
+ | |||
'''HF.''' Számítsa ki az | '''HF.''' Számítsa ki az | ||
:a) <math>\int\limits_{|z+1|+|z-1|=4}\frac{\mathrm{ch}\,3z}{z^3-z^2}\,\mathrm{d}z</math> | :a) <math>\int\limits_{|z+1|+|z-1|=4}\frac{\mathrm{ch}\,3z}{z^3-z^2}\,\mathrm{d}z</math> | ||
84. sor: | 90. sor: | ||
:b) <math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1-e^{2z}}{z^{100}}\,\mathrm{d}z</math> | :b) <math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1-e^{2z}}{z^{100}}\,\mathrm{d}z</math> | ||
integrálokat! | integrálokat! | ||
+ | :c) Milyen szakadások vannak z=0-ban? | ||
+ | :d) Adja meg a reziduumokat a z=0-ban! | ||
==Laurent-sorfejtés== | ==Laurent-sorfejtés== |
A lap 2009. november 16., 18:36-kori változata
Tartalomjegyzék |
Szeparábilis differenciálegyenlet
1. Oldjuk meg az
egyenletet az
- a)
- b)
- c)
Mo. a) Ez egykonstans megoldás és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.
b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
Az implicit egyenlet:
- cos − 3y = x3 + 3C
Ha x=0 és y=π/4, akkor
és
c) ugyanez + 2π
HF. Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az
- a) y(0)=1,
- b) y(0)=e
kezdeti feltételek mellett!
Homogén fokszámú egyenlet
Azt mondjuk, hogy az y' = F(x,y) egyenlet homogén fokszámú, ha
A homogén fokszámú egyenlet megoldása visszavazethető a szeparálásra az
új változó bevezetésével, ahol u = u(x) az ismeretlen függvény. Ekkor
azaz
2. Oldjuk meg az
egyenletet!
Mo. Az új változóra történő áttérésnél az y2-nak már nem szabad szerepelnie az egyenletben, ezért, hogy ne féljen egyedül, szorozzunk be az egyenletet 1/x2-tel:
ezt kell megoldani. Egyelőre tegyük fel, hogy y(x) függvény nem veheti fel a nullát, így az u sem. Ekkor szeparálással:
- itt c tetszőleges valós szám
- itt C tetszőleges pozitív szám éspedig ln c = C.
Az egzisztencia és unicitás diszkussziója. a szeparálással kapott általános megoldás minden R\{0}×R-beli kezdeti értékre egyértelmű megoldást ad.
Ha x0=0, akkor y0=0 kell, hogy legyen ellenkező esetben nincsmegoldás. De ekkor is irreguláris a megoldás, mert két megoldás is kielégíti ott az egyenletet:
- y'1(0) = (C2x3 − 2Cx | x | + x)' | 0 = 1
- y'2(0) = ( − C2x3 + 2Cx | x | − x)' | 0 = − 1
miközben miközben mindkettő a 0-ban a 0-t veszi föl.
HF. Oldjuk meg az
- a) és az
- b)
egyenletet!
Cauchy-típusú integrálok
3.
- a)
- b) Osztályozzuk az intergandus szakadási helyeket
- c) Adjuk meg ezekben a pontokban a reziduumokat!
Mo. a)
A nevező gyökhelyein lesz irreguláris f, de ezek közül csak a |z|=3 kör által körülhurkolt z=0 és z=2 helyekkel kell foglalkoznunk, melyk köré egy-egy mondjuk 1 sugarú (vagy elegendően kicsiny ε sugarú) kört vonunk, és használjuk az integrál additivitását:
Az első tagnál az n=1-re vonatkozó, a másodiknál az n=0-re vonatkozó Cauchy-formulát kell alkalmaznunk. Ezek:
és
A feladatban z0 = 2, g(z)=1/z2(z-4) illetve
és z1 = 0,
- ,
Tehát
b) 2 és 4 elsőrendű pólus, 0 másodrendű.
c) 0-ban és 2-ben az integrál 2πi-vel eloszott értéke a reziduum, 4-ben most nem számoljuk ki, de a 2-höz hasonlóan kell eljárni.
HF. Számítsa ki az
- a)
- (a görbe egy pozitívan irányított 0 középponttú ellipszis) és a
- b)
integrálokat!
- c) Milyen szakadások vannak z=0-ban?
- d) Adja meg a reziduumokat a z=0-ban!