Matematika A3a 2009/9. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Cauchy-típusú integrálok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Cauchy-típusú integrálok) |
||
76. sor: | 76. sor: | ||
:<math>g(z_0)=\left.\frac{1}{z^2(z-4)}\right|_{z=z_0=2}=-\frac{1}{16}</math> | :<math>g(z_0)=\left.\frac{1}{z^2(z-4)}\right|_{z=z_0=2}=-\frac{1}{16}</math> | ||
és <math>z_1=0</math>, | és <math>z_1=0</math>, | ||
− | :<math>h(z)=\frac{1}{z^2-6z+8}</math>, <math>h'(z_1)=\left.\frac{- | + | :<math>h(z)=\frac{1}{z^2-6z+8}</math>, <math>h'(z_1)=\left.\frac{-2z+6}{((z-2)(z-4))^2}\right|_{z=z_1=0}=\frac{6}{64}</math> |
Tehát | Tehát | ||
:<math>*=-2\pi i\frac{1}{16}+2\pi i\frac{3}{32}=\frac{\pi i}{16}</math> | :<math>*=-2\pi i\frac{1}{16}+2\pi i\frac{3}{32}=\frac{\pi i}{16}</math> |
A lap 2009. november 16., 12:45-kori változata
Szeparábilis differenciálegyenlet
1. Oldjuk meg az
egyenletet az
- a)
- b)
- c)
Mo. a) Ez egykonstans megoldás és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.
b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
Az implicit egyenlet:
- cos − 3y = x3 + 3C
Ha x=0 és y=π/4, akkor
és
c) ugyanez + 2π
HF. Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az
- a) y(0)=1,
- b) y(0)=e
kezdeti feltételek mellett!
Homogén fokszámú egyenlet
Azt mondjuk, hogy az y' = F(x,y) egyenlet homogén fokszámú, ha
A homogén fokszámú egyenlet megoldása visszavazethető a szeparálásra az
új változó bevezetésével, ahol u = u(x) az ismeretlen függvény. Ekkor
azaz
2. Oldjuk meg az
egyenletet!
Mo. Az új változóra történő áttérésnél az y2-nak már nem szabad szerepelnie az egyenletben, ezért, hogy ne féljen egyedül, szorozzunk be az egyenletet 1/x2-tel:
ezt kell megoldani. Egyelőre tegyük fel, hogy y(x) függvény nem veheti fel a nullát, így az u sem. Ekkor szeparálással:
- itt c tetszőleges valós szám
- itt C tetszőleges pozitív szám éspedig ln c = C.
Az egzisztencia és unicitás diszkussziója. a szeparálással kapott általános megoldás minden R\{0}×R-beli kezdeti értékre egyértelmű megoldást ad.
Ha x0=0, akkor y0=0 kell, hogy legyen ellenkező esetben nincsmegoldás. De ekkor is irreguláris a megoldás, mert két megoldás is kielégíti ott az egyenletet:
- y'1(0) = (C2x3 − 2Cx | x | + x)' | 0 = 1
- y'2(0) = ( − C2x3 + 2Cx | x | − x)' | 0 = − 1
miközben miközben mindkettő a 0-ban a 0-t veszi föl.
HF. Oldjuk meg az
- a) és az
- b)
egyenletet!
Cauchy-típusú integrálok
3.
Mo.
A nevező gyökhelyein lesz irreguláris f, de ezek közül csak a |z|=3 kör által körülhurkolt z=0 és z=2 helyekkel kell foglalkoznunk, melyk köré egy-egy mondjuk 1 sugarú (vagy elegendően kicsiny ε sugarú) kört vonunk, és használjuk az integrál additivitását:
Az első tagnál az n=1-re vonatkozó, a másodiknál az n=0-re vonatkozó Cauchy-formulát kell alkalmaznunk. Ezek:
és
A feladatban z0 = 2, g(z)=1/z2(z-4) illetve
és z1 = 0,
- ,
Tehát