Matematika A3a 2009/9. gyakorlat

Szeparábilis differenciálegyenlet

1. Oldjuk meg az

$y'=x^2\frac{\cos^4 y}{\sin y}$

egyenletet az

a) $y(0)=-\frac{\pi}{2}$

b) $y(0)=\frac{\pi}{4}$

c) $y(0)=\frac{\pi}{3}+2\pi$

Mo. a) Ez egykonstans megoldás és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.

b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:

$\frac{\sin y}{\cos^4 y}y'=x^2$

$-\cos^{-4} y(-\sin y)\,y'=x^2$

$\frac{1}{3}\cos^{-3} y=\frac{1}{3}x^3+C$

Az implicit egyenlet:

cos ^{− 3}y = x³ + 3C

Ha x=0 és y=π/4, akkor

$3C=\frac{1}{\frac{(\sqrt{2}}{2})^3}$

és

$y(x)=\frac{1}{\mathrm{arccos}\,x^2+\frac{24}{(\sqrt{2})^3}}$