Matematika A3a 2009/9. gyakorlat

Szeparábilis differenciálegyenlet

1. Oldjuk meg az

$y'=x^2\frac{\cos^4 y}{\sin y}$

egyenletet az

a) $y(0)=-\frac{\pi}{2}$

b) $y(0)=\frac{\pi}{4}$

c) $y(0)=\frac{\pi}{4}+2\pi$

Mo. a) Ez egykonstans megoldás és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.

b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:

$\frac{\sin y}{\cos^4 y}y'=x^2$

$-\cos^{-4} y(-\sin y)\,y'=x^2$

$\frac{1}{3}\cos^{-3} y=\frac{1}{3}x^3+C$

Az implicit egyenlet:

cos ^{− 3}y = x³ + 3C

Ha x=0 és y=π/4, akkor

$3C=\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^3}$

és

$y(x)=\mathrm{arccos}\frac{1}{\sqrt[3]{x^3+\frac{24}{(\sqrt{2})^3}}}$

c) ugyanez + 2π

HF. Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az

a) y(0)=1,

b) y(0)=e

kezdeti feltételek mellett!

Homogén fokszámú egyenlet

Azt mondjuk, hogy az y' = F(x,y) egyenlet homogén fokszámú, ha

$F(\lambda x,\lambda y)=F(x,y)\,$

A homogén fokszámú egyenlet megoldása visszavazethető a szeparálásra az

$u=\frac{y}{x}\,$

új változó bevezetésével, ahol u = u(x) az ismeretlen függvény. Ekkor

$(xu)'=u+xu'=y'\,$

azaz

$y'=u'x+u\,$

2. Oldjuk meg az

$y'xy=x^2+y^2\,$

egyenletet!

Mo. Az új változóra történő áttérésnél az y²-nak már nem szabad szerepelnie az egyenletben, ezért, hogy ne féljen egyedül, szorozzunk be az egyenletet 1/x²-tel:

$y'\frac{y}{x}=1+\frac{y^2}{x^2}\,$

$(u'x+u)u=1+u^2\,$

$u'ux=1+2u^2\,$

$u'=\frac{1}{x}\frac{1+u^2}{u}\,$

ezt kell megoldani. Feltehető, hogy y(x) függvény nem veheti fel a nullát, így az u sem. Ekkor szeparálással:

$\frac{u}{1+u^2}u'=\frac{1}{x}\,$

$\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,1+u^2=c+\mathrm(ln)\,x\,$

$\mathrm{ln}\sqrt{1+u^2}=\mathrm(ln)\,Cx\,$

$\sqrt{1+u^2}=Cx\,$

$u(x)=\pm(Cx-1)^2\,$