Matematika A3a 2009/egzakt

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
(→Definíció)
2. sor: 2. sor:
  
 
Azt mondjuk, hogy az  
 
Azt mondjuk, hogy az  
−
:<math>y'=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\,</math>
+
:<math>y'=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\quad\quad \mathrm{(EX)}</math>
 
differenciálegyenlet ''egzakt'', ha ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R'''  nyílt halmazon értelmezett függvények, úgy, hogy létezik olyan ''F'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvény, hogy  
 
differenciálegyenlet ''egzakt'', ha ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R'''  nyílt halmazon értelmezett függvények, úgy, hogy létezik olyan ''F'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvény, hogy  
−
:<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q</math>
+
:<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}</math>
 +
 
 +
'''Megj.''' Az egzakt differenciálegyenletet még
 +
:<math>Q(x,y)+P(x,y)y'=0\,</math> ill. <math>Q(x,y)\,\mathrm{d}x+P(x,y)\,\mathrm{d}y=0\,</math>
 +
alakban is szokás írni.
 +
 
 +
Ez utóbbi egyenletetről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a ''Q''(''x'',''y'')d''x'' + ''P''(''x'',''y'')d''y'' kifejezés teljes differenciál, azaz létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:
 +
:<math>\mathrm{d}F(x,y)=Q(x,y)\,\mathrm{d}x+P(x,y)\,\mathrm{d}y\,</math>
 +
 
 +
Ezt mai jelölésekkel a következőképpen értelmezhetjük. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:
 +
:<math>[\mathrm{d}F(x,y)]=\mathrm{grad}\,F(x,y)=\left[\;\frac{\partial F}{\partial x}\;,\;\frac{\partial F}{\partial y}\;\right]</math>
 +
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:
 +
:<math>[\mathrm{d}F]=\left[P,Q\right]\,</math> ill. <math>\mathrm{grad}\,F=[P,Q]\,</math>

A lap 2009. november 18., 16:37-kori változata

Definíció

Azt mondjuk, hogy az

y'=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\quad\quad \mathrm{(EX)}

differenciálegyenlet egzakt, ha P,Q: U \to R nyílt halmazon értelmezett függvények, úgy, hogy létezik olyan F: U \to R folytonosan differenciálható függvény, hogy

\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}

Megj. Az egzakt differenciálegyenletet még

Q(x,y)+P(x,y)y'=0\, ill. Q(x,y)\,\mathrm{d}x+P(x,y)\,\mathrm{d}y=0\,

alakban is szokás írni.

Ez utóbbi egyenletetről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a Q(x,y)dx + P(x,y)dy kifejezés teljes differenciál, azaz létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:

\mathrm{d}F(x,y)=Q(x,y)\,\mathrm{d}x+P(x,y)\,\mathrm{d}y\,

Ezt mai jelölésekkel a következőképpen értelmezhetjük. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:

[\mathrm{d}F(x,y)]=\mathrm{grad}\,F(x,y)=\left[\;\frac{\partial F}{\partial x}\;,\;\frac{\partial F}{\partial y}\;\right]

Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:

[\mathrm{d}F]=\left[P,Q\right]\, ill. \mathrm{grad}\,F=[P,Q]\,
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A3a_2009/egzakt&oldid=5886”
Személyes eszközök