Matematika A3a 2009/egzakt
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Definíció) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Definíció) |
||
| 3. sor: | 3. sor: | ||
Azt mondjuk, hogy az | Azt mondjuk, hogy az | ||
:<math>y'=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\quad\quad \mathrm{(EX)}</math> | :<math>y'=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\quad\quad \mathrm{(EX)}</math> | ||
| − | differenciálegyenlet ''egzakt'', ha ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' nyílt halmazon értelmezett függvények | + | differenciálegyenlet ''egzakt'', ha ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan ''F'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvény, hogy |
:<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}</math> | :<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}</math> | ||
| 17. sor: | 17. sor: | ||
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható: | Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható: | ||
:<math>[\mathrm{d}F]=\left[P,Q\right]\,</math> ill. <math>\mathrm{grad}\,F=[P,Q]\,</math> | :<math>[\mathrm{d}F]=\left[P,Q\right]\,</math> ill. <math>\mathrm{grad}\,F=[P,Q]\,</math> | ||
| + | '''Példa.''' Például minden szeparábilis differenciálegyenlet egzakt, hiszen formálisan: | ||
| + | :<math>q(x)\,\mathrm{d}x=p(y)\,\mathrm{d}y\,</math> | ||
A lap 2009. november 18., 16:48-kori változata
Definíció
Azt mondjuk, hogy az
differenciálegyenlet egzakt, ha P,Q: U 
R nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan F: U R folytonosan differenciálható függvény, hogy
Megj. Az egzakt differenciálegyenletet még
ill. 
alakban is szokás írni.
Ez utóbbi egyenletetről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a Q(x,y)dx + P(x,y)dy kifejezés teljes differenciál, azaz létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:
Ezt mai jelölésekkel a következőképpen értelmezhetjük. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:
![[\mathrm{d}F(x,y)]=\mathrm{grad}\,F(x,y)=\left[\;\frac{\partial F}{\partial x}\;,\;\frac{\partial F}{\partial y}\;\right]](/upload/math/6/d/6/6d677f005d45feb13decbeb9f8433c81.png)
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:
![[\mathrm{d}F]=\left[P,Q\right]\,](/upload/math/3/4/3/343e00846494e553e629c9e57344a211.png)
ill. ![\mathrm{grad}\,F=[P,Q]\,](/upload/math/4/f/9/4f9b9ba5601098c77e15e1f242d50948.png)
Példa. Például minden szeparábilis differenciálegyenlet egzakt, hiszen formálisan:
