Matematika A3a 2009/egzakt
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Definíció) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Definíció) |
||
6. sor: | 6. sor: | ||
:<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}</math> | :<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}</math> | ||
− | ''' | + | '''Példa.''' Minden |
+ | :<math>y'=\frac{f(x)}{g(y)}\,</math> | ||
+ | alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt (''f,g'' folytonos, ''g'' sehol se nulla), hiszen ekkor a megoldásból: | ||
+ | :<math>g(y)y'=f(x)\,</math> | ||
+ | :<math>G(y)=F(x)+C\,</math> | ||
+ | :<math>\Phi(x,y):=G(y)-F(x)=C\,</math> | ||
+ | olyan, hogy | ||
+ | :<math>\frac{\partial \Phi}{\partial x}=f,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=g</math> | ||
+ | |||
+ | Látható, hogy ekkor a megoldásokat implicit módon adja meg az | ||
+ | :<math>\Phi(x,y)=C\,</math> | ||
+ | egyenlet, ami általában is így lesz ( F(x,y) = C ) ezért előnyös az egzakt forma. | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' Az egzakt differenciálegyenletet még | ||
:<math>Q(x,y)+P(x,y)y'=0\,</math> ill. <math>Q(x,y)\,\mathrm{d}x+P(x,y)\,\mathrm{d}y=0\,</math> | :<math>Q(x,y)+P(x,y)y'=0\,</math> ill. <math>Q(x,y)\,\mathrm{d}x+P(x,y)\,\mathrm{d}y=0\,</math> | ||
alakban is szokás írni. | alakban is szokás írni. | ||
17. sor: | 30. sor: | ||
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható: | Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható: | ||
:<math>[\mathrm{d}F]=\left[P,Q\right]\,</math> ill. <math>\mathrm{grad}\,F=[P,Q]\,</math> | :<math>[\mathrm{d}F]=\left[P,Q\right]\,</math> ill. <math>\mathrm{grad}\,F=[P,Q]\,</math> | ||
− | |||
− |
A lap 2009. november 18., 18:18-kori változata
Definíció
Azt mondjuk, hogy az
differenciálegyenlet egzakt, ha P,Q: U R nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan F: U R folytonosan differenciálható függvény, hogy
Példa. Minden
alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt (f,g folytonos, g sehol se nulla), hiszen ekkor a megoldásból:
olyan, hogy
Látható, hogy ekkor a megoldásokat implicit módon adja meg az
egyenlet, ami általában is így lesz ( F(x,y) = C ) ezért előnyös az egzakt forma.
Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még
- ill.
alakban is szokás írni.
Ez utóbbi egyenletetről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a Q(x,y)dx + P(x,y)dy kifejezés teljes differenciál, azaz létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:
Ezt mai jelölésekkel a következőképpen értelmezhetjük. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:
- ill.