Matematika A3a 2009/egzakt
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Definíció) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Definíció) |
||
5. sor: | 5. sor: | ||
differenciálegyenlet ''egzakt'', ha ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan ''F'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvény, hogy | differenciálegyenlet ''egzakt'', ha ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan ''F'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvény, hogy | ||
:<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}</math> | :<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}</math> | ||
+ | ==Példa, ellenpélda, elnevezés== | ||
'''Példa.''' Minden | '''Példa.''' Minden |
A lap 2009. november 18., 18:18-kori változata
Definíció
Azt mondjuk, hogy az
differenciálegyenlet egzakt, ha P,Q: U R nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan F: U R folytonosan differenciálható függvény, hogy
Példa, ellenpélda, elnevezés
Példa. Minden
alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt (f,g folytonos, g sehol se nulla), hiszen ekkor a megoldásból:
olyan, hogy
Látható, hogy ekkor a megoldásokat implicit módon adja meg az
egyenlet, ami általában is így lesz ( F(x,y) = C ) ezért előnyös az egzakt forma.
Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még
- ill.
alakban is szokás írni.
Ez utóbbi egyenletetről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a Q(x,y)dx + P(x,y)dy kifejezés teljes differenciál, azaz létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:
Ezt mai jelölésekkel a következőképpen értelmezhetjük. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:
- ill.