Matematika A3a 2009/egzakt

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→Definíció)
(→Példa, ellenpélda, elnevezés)
5. sor: 5. sor:
 
differenciálegyenlet ''egzakt'', ha ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R'''  nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan ''F'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvény, hogy  
 
differenciálegyenlet ''egzakt'', ha ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R'''  nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan ''F'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvény, hogy  
 
:<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}</math>
 
:<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}</math>
−
==Példa, ellenpélda, elnevezés==
+
==Példa, elnevezés==
  
 
'''Példa.''' Minden  
 
'''Példa.''' Minden  

A lap 2009. november 18., 18:19-kori változata

Definíció

Azt mondjuk, hogy az

y'=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\quad\quad \mathrm{(EX)}

differenciálegyenlet egzakt, ha P,Q: U \to R nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan F: U \to R folytonosan differenciálható függvény, hogy

\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}

Példa, elnevezés

Példa. Minden

y'=\frac{f(x)}{g(y)}\,

alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt (f,g folytonos, g sehol se nulla), hiszen ekkor a megoldásból:

g(y)y'=f(x)\,
G(y)=F(x)+C\,
\Phi(x,y):=G(y)-F(x)=C\,

olyan, hogy

\frac{\partial \Phi}{\partial x}=f,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=g

Látható, hogy ekkor a megoldásokat implicit módon adja meg az

\Phi(x,y)=C\,

egyenlet, ami általában is így lesz ( F(x,y) = C ) ezért előnyös az egzakt forma.

Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még

Q(x,y)+P(x,y)y'=0\, ill. Q(x,y)\,\mathrm{d}x+P(x,y)\,\mathrm{d}y=0\,

alakban is szokás írni.

Ez utóbbi egyenletetről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a Q(x,y)dx + P(x,y)dy kifejezés teljes differenciál, azaz létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:

\mathrm{d}F(x,y)=Q(x,y)\,\mathrm{d}x+P(x,y)\,\mathrm{d}y\,

Ezt mai jelölésekkel a következőképpen értelmezhetjük. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:

[\mathrm{d}F(x,y)]=\mathrm{grad}\,F(x,y)=\left[\;\frac{\partial F}{\partial x}\;,\;\frac{\partial F}{\partial y}\;\right]

Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:

[\mathrm{d}F]=\left[P,Q\right]\, ill. \mathrm{grad}\,F=[P,Q]\,
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A3a_2009/egzakt&oldid=5890”
Személyes eszközök