Matematika A3a 2009/egzakt
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példa, elnevezés) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Definíció) |
||
6. sor: | 6. sor: | ||
:<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}</math> | :<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}</math> | ||
'''Példa.''' Minden | '''Példa.''' Minden | ||
− | :<math>y'=\frac{f(x)}{g(y)}\,</math> | + | :<math>y'=\frac{f(x)}{g(y)},\quad\quad f\in\mathrm{C}(I),\;g\in \mathrm{C}(J),\;0\notin\mathrm{Ran}(g)</math> |
− | alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt | + | alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt, hiszen ekkor a megoldásból: |
:<math>g(y)y'=f(x)\quad\quad\Rightarrow\quad\quad G(y)=F(x)+C</math> | :<math>g(y)y'=f(x)\quad\quad\Rightarrow\quad\quad G(y)=F(x)+C</math> | ||
:<math>\Phi(x,y):=G(y)-F(x)=C\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\frac{\partial \Phi}{\partial x}=f,\quad\quad\frac{\partial \Phi}{\partial y}=g</math> | :<math>\Phi(x,y):=G(y)-F(x)=C\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\frac{\partial \Phi}{\partial x}=f,\quad\quad\frac{\partial \Phi}{\partial y}=g</math> |
A lap 2009. november 22., 22:17-kori változata
Definíció
Azt mondjuk, hogy az
differenciálegyenlet egzakt, ha P,Q: U R nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan F: U R folytonosan differenciálható függvény, hogy
Példa. Minden
alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt, hiszen ekkor a megoldásból:
Látható, hogy ekkor a megoldásokat implicit módon adja meg az
egyenlet, ami általában is így lesz ( F(x,y) = C ) ezért előnyös az egzakt forma.
Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még
- ill.
alakban is szokás írni.
Ez utóbbi egyenletetről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a Q(x,y)dx + P(x,y)dy kifejezés teljes differenciál, azaz létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:
Ezt mai jelölésekkel a következőképpen értelmezhetjük. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:
- ill.
Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) függvény potenciálos. Ebből hasznos jellemzést kapunk a vektoranalízisbeli ismereteinkből.
Egzakt egyenlet jellemzése és megoldhatósága
Tétel. Legyen U egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, P,Q: U R folytonosan differenciálható függvények. A Pdx + Qdy = 0 egyenlet pontosan akkor egzakt, ha
Az F függvényt, az Pdx + Qdy = 0 egyenlet első integráljának nevezzük.
Ezt a tételt jól ismerjük és a bizonyítását a vektoranalízisben vettük. Sokkal fontosabb azonban, hogy igazoljuk az egyenlet megoldhatóságát ebben az esetben.
Tétel. Legyen P,Q: U R folytonosan differenciálható függvények, Q sehol se nulla, grad F = (P,Q) és (x0,y0) ∈ U. Ekkor
- a Pdx + Qdy = 0 egyenletnek van a kezdeti feltételt egyértelműen kielégítő megoldása és
- az F(x,y) = C egyenlet (x0,y0)-n áthaladó implicit függvénye a Pdx + Qdy = 0 egyenlet y(x0) = y0 kezdeti feltételt kielégítő megoldása.
Biz. 1) Egzisztencia.
így az implicit függvény tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pontban és ennek deriváltja:
Tehát létezik megoldása és y egy megoldása az egyenéletnek.
2) Unicitás. Ha létezik megoldása az egyenletnek, akkor a
egyenlet a grad F = (P,Q) miatt
de mivel
ezért az integrálszámítás alaptétele miatt F(x,y(x)) egy konstans függvény, azaz y(x) implicit függvénye az F(x,y)=0 egyenletnek. Ez ez utóbbi egyértelmű, ezért a megoldás is.
Megjegyzés. Bár a szeparábilis egyenlet egzakt, de a fenti feltétel a megoldádás létezésére sokkal szigorúbb mint a szeparábilisé.
Példa
Oldjuk meg az
differenciálegyenletet!
Mo.
Tehát egzakt. Az egyenlet első integrálját megpajuk, ha megoldjuk az
parciális differenciálegyenlet-rendszert. A megoldást paraméteres integrálással kapjuk:
Innen:
Tehát az első integrál: