Matematika A3a 2009/egzakt
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Definíció) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Definíció) |
||
21. sor: | 21. sor: | ||
:<math>\frac{\partial\Phi}{\partial y}\ne 0</math> | :<math>\frac{\partial\Phi}{\partial y}\ne 0</math> | ||
ezért az implicitfüggvény-tétel miatt, hogy y-t "ki lehet fejezni". Érdemes felelevenítenünk magát az implicitfüggvény-tételt: | ezért az implicitfüggvény-tétel miatt, hogy y-t "ki lehet fejezni". Érdemes felelevenítenünk magát az implicitfüggvény-tételt: | ||
− | '''Implicitfüggvény-tétel''' -- Ha | + | '''Implicitfüggvény-tétel''' -- Ha a Φ: <math>I</math>×<math>J</math> <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvény az <math>(x_0,y_0)</math> ∈ int(<math>I</math>×<math>J</math>) pontban teljesíti a ∂Φ/∂y ≠ 0 feltételt és Φ(<math>x_0,y_0</math>)=0, akkor a Φ(x,y)=0 egyenletnek van az <math>(x_0,y_0)</math> ponton áthaladó implicit függvénye és ennek deriváltja: |
:<math>y'(x)=-\left.\frac{\;\frac{\partial\Phi}{\partial x}\;}{\frac{\partial \Phi}{\partial{y}}}\right|_{(x,y(x))}</math> | :<math>y'(x)=-\left.\frac{\;\frac{\partial\Phi}{\partial x}\;}{\frac{\partial \Phi}{\partial{y}}}\right|_{(x,y(x))}</math> | ||
A lap 2012. szeptember 25., 17:38-kori változata
- V2 716, nov. 24. kedd 10:15 - 11:45
Tartalomjegyzék |
Definíció
Legyen U ⊆ R2 nyílt halmaz és P,Q: U R folytonos függvények, Q sehol sem nulla. Azt mondjuk, hogy az
differenciálegyenlet egzakt, ha létezik olyan F: U R folytonosan differenciálható függvény, hogy
Példa. Minden
alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt, hiszen ha g integrálfüggvénye G, akkor
Alkalmas tehát az alábbi függvény:
Jelen esetben a G függvény deriváltja (G'=g) sehol sem nulla folytonos függvény, ezért szigorúan monoton. Emiatt kifejezhető y éspedig:
Megjegyzés. A megoldásokat implicit módon adja meg az
egyenlet. Mivel
ezért az implicitfüggvény-tétel miatt, hogy y-t "ki lehet fejezni". Érdemes felelevenítenünk magát az implicitfüggvény-tételt: Implicitfüggvény-tétel -- Ha a Φ: I×J R folytonosan differenciálható függvény az (x0,y0) ∈ int(I×J) pontban teljesíti a ∂Φ/∂y ≠ 0 feltételt és Φ(x0,y0)=0, akkor a Φ(x,y)=0 egyenletnek van az (x0,y0) ponton áthaladó implicit függvénye és ennek deriváltja:
Egzisztencia- és unicitástétel
Tétel. Legyen P,Q: U R folytonosan differenciálható függvények, Q sehol se nulla, grad F = (P,Q) és (x0,y0) ∈ U. Ekkor
- a y'=-P/Q egyenletnek van a kezdeti feltételt egyértelműen kielégítő megoldása és
- az F(x,y) = F((x0,y0)) egyenlet (x0,y0)-n áthaladó implicit függvénye az y'=-P/Q egyenlet y(x0) = y0 kezdeti feltételt kielégítő megoldása.
Biz. 1) Egzisztencia.
így az implicit függvény tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pont egy környezetében és ennek deriváltja:
Tehát létezik megoldása és y egy megoldása az egyenletnek.
2) Unicitás. Ha létezik megoldása az egyenletnek, akkor a
egyenlet a grad F = (P,Q) miatt
de mivel az összetett függvény differenciálása miatt (d(FG)(u)=dF(G(u)) dG(u))
ezért az integrálszámítás alaptétele miatt F(x,y(x)) egy konstans függvény, azaz y(x) implicit függvénye az F(x,y)=F((x0,y0)) egyenletnek. Ez ez utóbbi egyértelmű, ezért a megoldás is.
Az egzaktság jellemzése
Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még
- ill.
alakban is szokás írni.
Ez utóbbi egyenletetről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a P(x,y)dx + Q(x,y)dy kifejezés teljes differenciál, azaz létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:
Ezt mai jelölésekkel a következőképpen értelmezhetjük. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:
- ill.
Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) függvény potenciálos. Ebből hasznos jellemzést kapunk a vektoranalízisbeli ismereteinkből.
Tétel. Legyen U egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, P,Q: U R folytonosan differenciálható függvények. A Pdx + Qdy = 0 egyenlet pontosan akkor egzakt, ha
Az F függvényt, az Pdx + Qdy = 0 egyenlet első integráljának nevezzük.
Ezt a tételt jól ismerjük és a bizonyítását a vektoranalízisben vettük. Sokkal fontosabb azonban, hogy igazoljuk az egyenlet megoldhatóságát ebben az esetben.
Megjegyzés. Bár a szeparábilis egyenlet egzakt, de a fenti feltétel az egzaktság ellenőrzésére sokkal szigorúbb mint a szeparábilis megoldásának egzisztenciafeltétele.
Példa
Oldjuk meg az
differenciálegyenletet!
Mo.
Tehát egzakt. Az egyenlet első integrálját megkapjuk, ha megoldjuk az
parciális differenciálegyenlet-rendszert.
Az első egyenletből:
A második egyenlet miatt:
azaz
Innen a C(y)-ra egy partikuláris megoldás:
Azaz
Ez valóban teljesíti a grad F = [P,Q] feltételt, így az első integrál:
Integráló tényező
Általában egy P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 alakú differenciálegyenlet esetén nem teljesül a rot(P,G)=0 feltétel. Esetenként azonban található olyan μ kétváltozós pozitív értékű függvény, amellyel:
már egzakt egyenlet. Vizsáljuk meg miből nyerhetjük az ilyen μ un. integráló szorzót! A rot(μP,μQ)=0 feltétel a következő:
Ezt a parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk ahhoz, hogy legyen integráló tényezőnk.
Példa. Keressünk integráló tényezőt az
közönséges elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlethez!
Világos, hogy nem egzakt, mert az
alakban az keresztben vett deriváltak: 0 és f(x).
Q=1 és P(x,y)=-g(x)+f(x)y ezért a μ-t adó parc.diff. egyenlet:
Elegendő egy partikuláris megoldást találni, amit egyszerűen megkapunk, ha csak az olyan μ-ket keressük, amik csak az x-től függenek, ekkor ugyanis pl. g(x) nem is lesz az egyenletben. Ilyet találunk, mert:
Ez egy szeparábilis, aminek a megoldása:
egy partikuláris megoldás:
ahol F'=f.
HF: Keressük meg ezzel az integáló szorzóval az általános megoldást!
Mo.
Már egzakt, hiszen
Ekkor
azaz
Példa
Tanulságképpen levonhatjuk, hogy néha érdemes a μ-re felírt egyenletnek csak olyan megoldásait keresni, amelyek csak az egyik változótól függenek. Ha ugyanis csak a μ=μ(x) alakú integráló szorzókra szorítkozunk, akkor a megoldandó egyenlet:
azaz
Az ilyen alak feltétele tehát az, hogy az
csak x-től függjön (vagy a -rot(P,Q)/P csak y-tól és akkor μ csak y-tól függ).
Példa. Oldjuk meg az
egyenletet!
Mo. Átrendezve:
∂yP=3y2, ∂xQ=-y2, azaz
azaz célravezet, ha μ-t μ(x) alakban keressük. Ekkor
Ekkor az egyenlet:
egzakt, mert
Integrálássa:
azaz