Matematika A3a 2009/egzakt
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egzisztencia- és unicitástétel) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egzisztencia- és unicitástétel) |
||
25. sor: | 25. sor: | ||
==Egzisztencia- és unicitástétel== | ==Egzisztencia- és unicitástétel== | ||
− | '''Tétel.''' Legyenek ''P'' és ''Q'' az ''U'' ⊆ '''R'''<sup>2</sup> nyílt halmazon értelmezett | + | '''Tétel.''' Legyenek ''P'' és ''Q'' az ''U'' ⊆ '''R'''<sup>2</sup> nyílt halmazon értelmezett folytonos valós függvények, ''Q'' sehol se nulla, grad F = (P,Q) valamely F:''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvénnyel és <math>(x_0,y_0)</math> ∈ ''U''. Ekkor |
− | # az y'=-P/Q egyenletnek van az <math>y_0=y(x_0)</math> kezdeti feltételt kielégítő ''y'' megoldása és | + | # az y'=-P/Q egyenletnek van az <math>y_0=y(x_0)</math> kezdeti feltételt kielégítő egyértelmű ''y'' megoldása és |
− | # az F(x,y) = F(<math>x_0,y_0</math>) egyenlet <math>(x_0,y_0)</math>-on áthaladó implicit függvénye az y'=-P/Q egyenlet <math>y(x_0)=y_0</math> kezdeti feltételt kielégítő megoldása. | + | # az F(x,y) = F(<math>x_0,y_0</math>) egyenlet <math>(x_0,y_0)</math>-on áthaladó egyetlen implicit függvénye az y'=-P/Q egyenlet <math>y(x_0)=y_0</math> kezdeti feltételt kielégítő egyetlen megoldása. |
''Biz.'' 1) ''Egzisztencia.'' | ''Biz.'' 1) ''Egzisztencia.'' | ||
:<math>Q(x_0,y_0)=\left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\ne 0</math> | :<math>Q(x_0,y_0)=\left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\ne 0</math> | ||
− | így az | + | így az implicitfüggvény-tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pont egy környezetében és ennek deriváltja: |
:<math>y'(x)=-\frac{\;\cfrac{\partial F}{\partial x}(x,y(x))\;}{\cfrac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))}=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}</math> | :<math>y'(x)=-\frac{\;\cfrac{\partial F}{\partial x}(x,y(x))\;}{\cfrac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))}=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}</math> | ||
Tehát létezik megoldása, mert y egy megoldása az egyenletnek. | Tehát létezik megoldása, mert y egy megoldása az egyenletnek. | ||
− | + | ''Unicitás.'' Ha létezik megoldása az egyenletnek, akkor a | |
:<math>y'(x)=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}</math> | :<math>y'(x)=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}</math> | ||
egyenlet a grad F = (P,Q) miatt | egyenlet a grad F = (P,Q) miatt | ||
42. sor: | 42. sor: | ||
:<math>(F(x,y(x)))'=[\mathrm{grad}\,F|_{(x,y(x))}]\cdot\begin{bmatrix}x'\\y'(x)\end{bmatrix}=\frac{\partial F}{\partial x}|_{(x,y(x))}+y'\frac{\partial F}{\partial y}|_{(x,y(x))}\,</math> | :<math>(F(x,y(x)))'=[\mathrm{grad}\,F|_{(x,y(x))}]\cdot\begin{bmatrix}x'\\y'(x)\end{bmatrix}=\frac{\partial F}{\partial x}|_{(x,y(x))}+y'\frac{\partial F}{\partial y}|_{(x,y(x))}\,</math> | ||
ezért az integrálszámítás alaptétele miatt F(x,y(x)) egy konstans függvény, azaz y(x) implicit függvénye az F(x,y)=F(<math>x_0,y_0</math>) egyenletnek. Ez az utóbbi egyértelmű, ezért a megoldás is az. | ezért az integrálszámítás alaptétele miatt F(x,y(x)) egy konstans függvény, azaz y(x) implicit függvénye az F(x,y)=F(<math>x_0,y_0</math>) egyenletnek. Ez az utóbbi egyértelmű, ezért a megoldás is az. | ||
+ | |||
+ | 2) | ||
==Az egzaktság jellemzése== | ==Az egzaktság jellemzése== |
A lap 2012. szeptember 25., 17:57-kori változata
- V2 716, nov. 24. kedd 10:15 - 11:45
Tartalomjegyzék |
Definíció
Legyen U ⊆ R2 nyílt halmaz és P,Q: U R folytonos függvények, Q sehol sem nulla. Azt mondjuk, hogy az
differenciálegyenlet egzakt, ha létezik olyan F: U R folytonosan differenciálható függvény, hogy
Példa. Minden
alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt, hiszen ha g integrálfüggvénye G, akkor
Alkalmas tehát az alábbi függvény:
Jelen esetben a G függvény deriváltja (G'=g) sehol sem nulla folytonos függvény, ezért szigorúan monoton. Emiatt kifejezhető y éspedig:
Megjegyzés. A megoldásokat implicit módon adja meg az
egyenlet. Mivel
ezért az implicitfüggvény-tétel miatt, hogy y-t "ki lehet fejezni". Érdemes felelevenítenünk magát az implicitfüggvény-tételt: Implicitfüggvény-tétel -- Ha a Φ: I×J R folytonosan differenciálható függvény az (x0,y0) ∈ int(I×J) pontban teljesíti a ∂Φ/∂y ≠ 0 feltételt és Φ(x0,y0)=0, akkor a Φ(x,y)=0 egyenletnek van az (x0,y0) ponton áthaladó implicit függvénye és ennek deriváltja:
Egzisztencia- és unicitástétel
Tétel. Legyenek P és Q az U ⊆ R2 nyílt halmazon értelmezett folytonos valós függvények, Q sehol se nulla, grad F = (P,Q) valamely F:U R folytonosan differenciálható függvénnyel és (x0,y0) ∈ U. Ekkor
- az y'=-P/Q egyenletnek van az y0 = y(x0) kezdeti feltételt kielégítő egyértelmű y megoldása és
- az F(x,y) = F(x0,y0) egyenlet (x0,y0)-on áthaladó egyetlen implicit függvénye az y'=-P/Q egyenlet y(x0) = y0 kezdeti feltételt kielégítő egyetlen megoldása.
Biz. 1) Egzisztencia.
így az implicitfüggvény-tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pont egy környezetében és ennek deriváltja:
Tehát létezik megoldása, mert y egy megoldása az egyenletnek.
Unicitás. Ha létezik megoldása az egyenletnek, akkor a
egyenlet a grad F = (P,Q) miatt
de mivel az összetett függvény differenciálása miatt (d(FG)(u)=dF(G(u)) dG(u))
ezért az integrálszámítás alaptétele miatt F(x,y(x)) egy konstans függvény, azaz y(x) implicit függvénye az F(x,y)=F(x0,y0) egyenletnek. Ez az utóbbi egyértelmű, ezért a megoldás is az.
2)
Az egzaktság jellemzése
Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még
- ill.
alakban is szokás írni.
Ez utóbbi egyenletetről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a P(x,y)dx + Q(x,y)dy kifejezés teljes differenciál, azaz létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:
Ezt mai jelölésekkel a következőképpen értelmezhetjük. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:
- ill.
Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) függvény potenciálos. Ebből hasznos jellemzést kapunk a vektoranalízisbeli ismereteinkből.
Tétel. Legyen U egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, P,Q: U R folytonosan differenciálható függvények. A Pdx + Qdy = 0 egyenlet pontosan akkor egzakt, ha
Az F függvényt, az Pdx + Qdy = 0 egyenlet első integráljának nevezzük.
Ezt a tételt jól ismerjük és a bizonyítását a vektoranalízisben vettük. Sokkal fontosabb azonban, hogy igazoljuk az egyenlet megoldhatóságát ebben az esetben.
Megjegyzés. Bár a szeparábilis egyenlet egzakt, de a fenti feltétel az egzaktság ellenőrzésére sokkal szigorúbb mint a szeparábilis megoldásának egzisztenciafeltétele.
Példa
Oldjuk meg az
differenciálegyenletet!
Mo.
Tehát egzakt. Az egyenlet első integrálját megkapjuk, ha megoldjuk az
parciális differenciálegyenlet-rendszert.
Az első egyenletből:
A második egyenlet miatt:
azaz
Innen a C(y)-ra egy partikuláris megoldás:
Azaz
Ez valóban teljesíti a grad F = [P,Q] feltételt, így az első integrál:
Integráló tényező
Általában egy P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 alakú differenciálegyenlet esetén nem teljesül a rot(P,G)=0 feltétel. Esetenként azonban található olyan μ kétváltozós pozitív értékű függvény, amellyel:
már egzakt egyenlet. Vizsáljuk meg miből nyerhetjük az ilyen μ un. integráló szorzót! A rot(μP,μQ)=0 feltétel a következő:
Ezt a parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk ahhoz, hogy legyen integráló tényezőnk.
Példa. Keressünk integráló tényezőt az
közönséges elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlethez!
Világos, hogy nem egzakt, mert az
alakban az keresztben vett deriváltak: 0 és f(x).
Q=1 és P(x,y)=-g(x)+f(x)y ezért a μ-t adó parc.diff. egyenlet:
Elegendő egy partikuláris megoldást találni, amit egyszerűen megkapunk, ha csak az olyan μ-ket keressük, amik csak az x-től függenek, ekkor ugyanis pl. g(x) nem is lesz az egyenletben. Ilyet találunk, mert:
Ez egy szeparábilis, aminek a megoldása:
egy partikuláris megoldás:
ahol F'=f.
HF: Keressük meg ezzel az integáló szorzóval az általános megoldást!
Mo.
Már egzakt, hiszen
Ekkor
azaz
Példa
Tanulságképpen levonhatjuk, hogy néha érdemes a μ-re felírt egyenletnek csak olyan megoldásait keresni, amelyek csak az egyik változótól függenek. Ha ugyanis csak a μ=μ(x) alakú integráló szorzókra szorítkozunk, akkor a megoldandó egyenlet:
azaz
Az ilyen alak feltétele tehát az, hogy az
csak x-től függjön (vagy a -rot(P,Q)/P csak y-tól és akkor μ csak y-tól függ).
Példa. Oldjuk meg az
egyenletet!
Mo. Átrendezve:
∂yP=3y2, ∂xQ=-y2, azaz
azaz célravezet, ha μ-t μ(x) alakban keressük. Ekkor
Ekkor az egyenlet:
egzakt, mert
Integrálássa:
azaz