Matematika A3a 2009/egzakt

Definíció

Azt mondjuk, hogy az

$y'=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\quad\quad \mathrm{(EX)}$

differenciálegyenlet egzakt, ha P,Q: U $\to$ R nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan F: U $\to$ R folytonosan differenciálható függvény, hogy

$\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}$

Példa, ellenpélda, elnevezés

Példa. Minden

$y'=\frac{f(x)}{g(y)}\,$

alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt (f,g folytonos, g sehol se nulla), hiszen ekkor a megoldásból:

$g(y)y'=f(x)\,$

$G(y)=F(x)+C\,$

$\Phi(x,y):=G(y)-F(x)=C\,$

olyan, hogy

$\frac{\partial \Phi}{\partial x}=f,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=g$

Látható, hogy ekkor a megoldásokat implicit módon adja meg az

$\Phi(x,y)=C\,$

egyenlet, ami általában is így lesz ( F(x,y) = C ) ezért előnyös az egzakt forma.

Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még

$Q(x,y)+P(x,y)y'=0\,$ ill. $Q(x,y)\,\mathrm{d}x+P(x,y)\,\mathrm{d}y=0\,$

alakban is szokás írni.

Ez utóbbi egyenletetről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a Q(x,y)dx + P(x,y)dy kifejezés teljes differenciál, azaz létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:

$\mathrm{d}F(x,y)=Q(x,y)\,\mathrm{d}x+P(x,y)\,\mathrm{d}y\,$

Ezt mai jelölésekkel a következőképpen értelmezhetjük. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:

$[\mathrm{d}F(x,y)]=\mathrm{grad}\,F(x,y)=\left[\;\frac{\partial F}{\partial x}\;,\;\frac{\partial F}{\partial y}\;\right]$

Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:

$[\mathrm{d}F]=\left[P,Q\right]\,$ ill. $\mathrm{grad}\,F=[P,Q]\,$