Matematika közlek A1a 2013/3. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Lineáris függetlenség)
(Lineáris kombináció és geometria)
 
1. sor: 1. sor:
 
==Lineáris kombináció és geometria==
 
==Lineáris kombináció és geometria==
 +
 +
''Lineáris kombináció''nak nevezzük a
 +
:<math>\lambda_1.\mathbf{a}_1+\lambda_2.\mathbf{a}_2+...+\lambda_n.\mathbf{a}_n</math>
 +
alakú kifejezéseket, ahol a &lambda;-k számok, az '''a'''-k vektorok.
 +
 +
'''Tétel.'''
 +
# Ha '''b'''<sub>1</sub> és '''b'''<sub>2</sub> két nempárhuzamos vektor a  síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
 +
#:<math>\mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2</math>
 +
# Ha '''b'''<sub>1</sub>, '''b'''<sub>2</sub> és '''b'''<sub>3</sub> három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
 +
#:<math>\mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2+\lambda_3.\mathbf{b}_3</math>
 +
 +
Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát ''bázis''nak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ''ortonormált'' bázist alkotnak. A ''jobbsodrású'' (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az ('''i''', '''j''', '''k''').
 +
 +
Egy '''v''' térvektornak B = ('''b'''<sub>1</sub>, '''b'''<sub>2</sub>, '''b'''<sub>3</sub>) bázisra vonatkozó ''koordinátareprezentációja'' az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező &lambda;-k:
 +
:<math>[\mathbf{v}]_B=\begin{bmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3
 +
\end{bmatrix}</math>
  
 
'''1.''' (4.4) Tekintsük az ABCDEF szabályos hatszöget és legyen '''a''' és '''b''' az OA&rarr; és OB&rarr; vektorok. Fejezük ki az AB&rarr;, BC&rarr;, CD&rarr;, ... vektorokat az '''a''' és '''b''' lineáris kombinációjaként.
 
'''1.''' (4.4) Tekintsük az ABCDEF szabályos hatszöget és legyen '''a''' és '''b''' az OA&rarr; és OB&rarr; vektorok. Fejezük ki az AB&rarr;, BC&rarr;, CD&rarr;, ... vektorokat az '''a''' és '''b''' lineáris kombinációjaként.

A lap jelenlegi, 2013. szeptember 29., 09:31-kori változata

Tartalomjegyzék

Lineáris kombináció és geometria

Lineáris kombinációnak nevezzük a

\lambda_1.\mathbf{a}_1+\lambda_2.\mathbf{a}_2+...+\lambda_n.\mathbf{a}_n

alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.

Tétel.

  1. Ha b1 és b2 két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
    \mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2
  2. Ha b1, b2 és b3 három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
    \mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2+\lambda_3.\mathbf{b}_3

Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát bázisnak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ortonormált bázist alkotnak. A jobbsodrású (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az (i, j, k).

Egy v térvektornak B = (b1, b2, b3) bázisra vonatkozó koordinátareprezentációja az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező λ-k:

[\mathbf{v}]_B=\begin{bmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3
\end{bmatrix}

1. (4.4) Tekintsük az ABCDEF szabályos hatszöget és legyen a és b az OA→ és OB→ vektorok. Fejezük ki az AB→, BC→, CD→, ... vektorokat az a és b lineáris kombinációjaként.

2. (4.38) Legyen ABCDAA1B1C1D1 egy paralelepiledon. Legyen a=AB→, b=AD→, c=AA1→, F a BCC1B1 lap középpontja, H a BD1 testátló D1-hez közelebbi negyedelőpontja, K a D1C1 él felezéspontja, S az FHK súlypontja. Mik az idevezető vektorok A-ból a, b, c-val kifejezve?

3. (4.14) Szabályos n szög köréírható körének O középpontjából mutassanak vektorok a csúcsokig. Igazoljuk, hogy ezek összege 0.

Vektorokkal felírt háromszög egyenlőtlenség

4. (4.7.) Igazoljuk, hogy három vektor akkor és csak akkor lehetnek egy (esetleg elfajuló) háromszög oldalvektorai, ha vagy nulla az összegük, vagy az egyik a másik kettő összegeként áll elő.

5. (4.20) Igazoljuk, hogy a háromszög súlyvonalaival szerkeszthető háromszög.

Lineáris függetlenség

6. (4.3) Legyenek a, b lineárisan független vektorok. Igazoljuk, hogy ekkor m=2a+b és n=a+2b is lineárisan független. Fejezzük ki m és n segítségével a) 4a-3b b) 5a+2b

7. (4.36)

8. (4.37)

HF

4.1, 24, 27, 31, 42

Személyes eszközök