Matematika közlek A2a 2014
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
12. sor: | 12. sor: | ||
további példák helyettesítéssel történő integrálásra: <math>\int\limits_{-1}^1\frac{e^{2x}}{e^x+1}\,\mathrm{d}x</math>, <math>\int\limits_{0}^1\sqrt{(1-x^2)^3}\,\mathrm{d}x</math>, <math>\int\limits_{1}^e\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}\,\mathrm{d}x</math>, | további példák helyettesítéssel történő integrálásra: <math>\int\limits_{-1}^1\frac{e^{2x}}{e^x+1}\,\mathrm{d}x</math>, <math>\int\limits_{0}^1\sqrt{(1-x^2)^3}\,\mathrm{d}x</math>, <math>\int\limits_{1}^e\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}\,\mathrm{d}x</math>, | ||
+ | |||
+ | '''2. gyakorlat''' | ||
+ | |||
+ | Házik: Babcs. később | ||
+ | |||
+ | Órai: | ||
+ | |||
+ | Racionális törtek integrálása: | ||
+ | |||
+ | A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata: | ||
+ | :<math>\int\frac{1}{x(x+2)}\,\mathrm{d}x=?</math> | ||
+ | :: <math>\frac{1}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+Bx}{x(x+2)}=\frac{x(A+B)+2A}{x(x+2)}</math> | ||
+ | Gyökmódszer | ||
+ | ::<math>1\equiv(A+B)x+2A</math> | ||
+ | -ben először tegyük ''x''-be az egyik gyököt, az 0-t: | ||
+ | ::<math>1\equiv(A+B)\cdot 0+2A=2A</math> | ||
+ | innen A=1/2, majd a másik gyököt: | ||
+ | ::<math>1\equiv(A+B)(-2)+2A=\;\;\not{\!\!\!\!-2A}-2B+\not{\!\!2A}=-2B</math> | ||
+ | azaz B=-1/2. | ||
+ | ::<math>\int\frac{1}{x(x+2)}\,\mathrm{d}x=\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\frac{1}{2}}{x}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x|-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x+2|+C</math> | ||
+ | |||
+ | A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata | ||
+ | :<math>\int\frac{2x-7}{(x-1)(x+1)^2}\,\mathrm{d}x=?</math> | ||
+ | ::<math>\frac{2x-7}{(x-1)(x+1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}=\frac{A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)}{(x-1)(x+1)^2}</math> | ||
+ | Ekkor a gyökmódszerrel: | ||
+ | x=-1-re: -2C=2(-1)-7=-9, azaz C=9/2. | ||
+ | x=1-re 4A=-5, A=-5/4 | ||
+ | és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4 | ||
+ | :<math>\int\frac{-5/4}{x-1}+\frac{5/4}{x+1}+\frac{9/2}{(x+1)^2}\,\mathrm{d}x=-\frac{5}{4}\mathrm{ln}\,|x-1|+\frac{5}{4}\mathrm{ln}\,|x+1|-\frac{9}{2}\frac{1}{x+1}+c</math> | ||
+ | A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata | ||
+ | :<math>\int\frac{1}{x(x^2+1)}\,\mathrm{d}x=?</math> | ||
+ | Itt a keresendő alak: | ||
+ | ::<math>\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+Bx^2+Cx}{x(x^2+1)}</math> | ||
+ | vegyes módszerrel: | ||
+ | x=0: A=1 | ||
+ | C=0, mert nincs a bal oldalon elsőfokú | ||
+ | B=-A, mert másodfokú sincs. | ||
+ | ::<math>\int\frac{1}{x}+\frac{-x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\mathrm{ln}\,|x|-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x^2+1|+C</math> | ||
+ | Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl: | ||
+ | :<math>\int\frac{1}{2x^2+7}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{\frac{2}{7}x^2+1}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{2}{7}}x\right)^2+1}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{2}}\cdot\mathrm{arc\,tg}\, \left(\sqrt{\frac{2}{7}}x\right)+C</math> | ||
+ | A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata | ||
+ | Ekkor 1) a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni. |
A lap 2014. február 16., 21:21-kori változata
1. gyakorlat
Házik: BaBcs. 12. fej.: 5, 24, 15, 70, 23, 68, 76, 90, 88, 158, 125, 138.
Órai:
integrálás helyettesítéssel: 65. , 48. , 34.
a helyettesítéses integrálás formulájával: 25. , 68'.
parciális integrálás: 78. , 83. , 90'. , 86.
további példák helyettesítéssel történő integrálásra: , , ,
2. gyakorlat
Házik: Babcs. később
Órai:
Racionális törtek integrálása:
A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata:
Gyökmódszer
-ben először tegyük x-be az egyik gyököt, az 0-t:
innen A=1/2, majd a másik gyököt:
azaz B=-1/2.
A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Ekkor a gyökmódszerrel: x=-1-re: -2C=2(-1)-7=-9, azaz C=9/2. x=1-re 4A=-5, A=-5/4 és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4
A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Itt a keresendő alak:
vegyes módszerrel: x=0: A=1 C=0, mert nincs a bal oldalon elsőfokú B=-A, mert másodfokú sincs.
Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl:
A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata Ekkor 1) a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni.