Matematika közlek A2a 2014
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→2. gyakorlat) |
||
19. sor: | 19. sor: | ||
Órai: | Órai: | ||
− | Racionális törtek integrálása | + | ===Racionális törtek integrálása=== |
− | A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata: | + | A) A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata: |
:<math>\int\frac{1}{x(x+2)}\,\mathrm{d}x=?</math> | :<math>\int\frac{1}{x(x+2)}\,\mathrm{d}x=?</math> | ||
:: <math>\frac{1}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+Bx}{x(x+2)}=\frac{x(A+B)+2A}{x(x+2)}</math> | :: <math>\frac{1}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+Bx}{x(x+2)}=\frac{x(A+B)+2A}{x(x+2)}</math> | ||
33. sor: | 33. sor: | ||
::<math>\int\frac{1}{x(x+2)}\,\mathrm{d}x=\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\frac{1}{2}}{x}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x|-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x+2|+C</math> | ::<math>\int\frac{1}{x(x+2)}\,\mathrm{d}x=\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\frac{1}{2}}{x}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x|-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x+2|+C</math> | ||
− | A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata | + | B) A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata |
:<math>\int\frac{2x-7}{(x-1)(x+1)^2}\,\mathrm{d}x=?</math> | :<math>\int\frac{2x-7}{(x-1)(x+1)^2}\,\mathrm{d}x=?</math> | ||
::<math>\frac{2x-7}{(x-1)(x+1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}=\frac{A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)}{(x-1)(x+1)^2}</math> | ::<math>\frac{2x-7}{(x-1)(x+1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}=\frac{A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)}{(x-1)(x+1)^2}</math> | ||
41. sor: | 41. sor: | ||
és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4 | és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4 | ||
:<math>\int\frac{-5/4}{x-1}+\frac{5/4}{x+1}+\frac{9/2}{(x+1)^2}\,\mathrm{d}x=-\frac{5}{4}\mathrm{ln}\,|x-1|+\frac{5}{4}\mathrm{ln}\,|x+1|-\frac{9}{2}\frac{1}{x+1}+c</math> | :<math>\int\frac{-5/4}{x-1}+\frac{5/4}{x+1}+\frac{9/2}{(x+1)^2}\,\mathrm{d}x=-\frac{5}{4}\mathrm{ln}\,|x-1|+\frac{5}{4}\mathrm{ln}\,|x+1|-\frac{9}{2}\frac{1}{x+1}+c</math> | ||
− | A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata | + | C) A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata |
:<math>\int\frac{1}{x(x^2+1)}\,\mathrm{d}x=?</math> | :<math>\int\frac{1}{x(x^2+1)}\,\mathrm{d}x=?</math> | ||
Itt a keresendő alak: | Itt a keresendő alak: | ||
52. sor: | 52. sor: | ||
Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl: | Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl: | ||
:<math>\int\frac{1}{2x^2+7}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{\frac{2}{7}x^2+1}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{2}{7}}x\right)^2+1}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{2}}\cdot\mathrm{arc\,tg}\, \left(\sqrt{\frac{2}{7}}x\right)+C</math> | :<math>\int\frac{1}{2x^2+7}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{\frac{2}{7}x^2+1}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{2}{7}}x\right)^2+1}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{2}}\cdot\mathrm{arc\,tg}\, \left(\sqrt{\frac{2}{7}}x\right)+C</math> | ||
− | A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata | + | d) A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata |
− | Ekkor 1) a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni. | + | Ekkor 1) a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni. 2) Osztrogradszkíj módszerével: |
+ | :<math>\int\frac{x+1}{(x^2+x+1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+x+1}+\int\frac{Cx+D}{x^2+x+1}</math> | ||
+ | ::<math>\frac{x+1}{(x^2+x+1)^2}=\frac{A(x^2+x+1)-(Ax+B)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}</math> |
A lap 2014. február 16., 21:30-kori változata
1. gyakorlat
Házik: BaBcs. 12. fej.: 5, 24, 15, 70, 23, 68, 76, 90, 88, 158, 125, 138.
Órai:
integrálás helyettesítéssel: 65. , 48. , 34.
a helyettesítéses integrálás formulájával: 25. , 68'.
parciális integrálás: 78. , 83. , 90'. , 86.
további példák helyettesítéssel történő integrálásra: , , ,
2. gyakorlat
Házik: Babcs. később
Órai:
Racionális törtek integrálása
A) A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata:
Gyökmódszer
-ben először tegyük x-be az egyik gyököt, az 0-t:
innen A=1/2, majd a másik gyököt:
azaz B=-1/2.
B) A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Ekkor a gyökmódszerrel: x=-1-re: -2C=2(-1)-7=-9, azaz C=9/2. x=1-re 4A=-5, A=-5/4 és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4
C) A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Itt a keresendő alak:
vegyes módszerrel: x=0: A=1 C=0, mert nincs a bal oldalon elsőfokú B=-A, mert másodfokú sincs.
Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl:
d) A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata Ekkor 1) a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni. 2) Osztrogradszkíj módszerével: