Matematika közlek A2a 2014
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Racionális törtek integrálása) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→2. gyakorlat) |
||
19. sor: | 19. sor: | ||
Órai: | Órai: | ||
− | ===Racionális törtek integrálása=== | + | ====Racionális törtek integrálása=== |
A) A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata: | A) A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata: | ||
52. sor: | 52. sor: | ||
Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl: | Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl: | ||
:<math>\int\frac{1}{2x^2+7}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{\frac{2}{7}x^2+1}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{2}{7}}x\right)^2+1}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{2}}\cdot\mathrm{arc\,tg}\, \left(\sqrt{\frac{2}{7}}x\right)+C</math> | :<math>\int\frac{1}{2x^2+7}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{\frac{2}{7}x^2+1}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{2}{7}}x\right)^2+1}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{2}}\cdot\mathrm{arc\,tg}\, \left(\sqrt{\frac{2}{7}}x\right)+C</math> | ||
− | + | D) A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata | |
Ekkor 1) a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni. 2) Osztrogradszkíj módszerével: | Ekkor 1) a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni. 2) Osztrogradszkíj módszerével: | ||
:<math>\int\frac{x+1}{(x^2+x+1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+x+1}+\int\frac{Cx+D}{x^2+x+1}</math> | :<math>\int\frac{x+1}{(x^2+x+1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+x+1}+\int\frac{Cx+D}{x^2+x+1}</math> | ||
::<math>\frac{x+1}{(x^2+x+1)^2}=\frac{A(x^2+x+1)-(Ax+B)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}</math> | ::<math>\frac{x+1}{(x^2+x+1)^2}=\frac{A(x^2+x+1)-(Ax+B)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}</math> | ||
− | ::<math>\frac{Ax^2+( | + | ::<math>\frac{Ax^2+(2B+1)x+1-A+B}{(x^2+x+1)^2}=\frac{Cx^3+(D+C)x^2+(D+C)x+D}{x^2+x+1}</math> |
+ | C=0, A=D, D=2B+1, 1-D+B=D, azaz C=0, B=-1/3, A=D=1/3 | ||
+ | :<math>\int\frac{x+1}{(x^2+x+1)^2}=\frac{1}{3}\frac{x-1}{x^2+x+1}+\int\frac{1}{3}\frac{1}{x^2+x+1}</math> | ||
+ | ===Területszámításos feladatok=== | ||
+ | Explicit görbék által határolt területek: | ||
+ | 1. <math>\int\limits_{p/4}^{-p/4} \cos (nx)\,dx</math>, 2. <math>\int\limits_{-R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}\,dx</math>, 3. y=\frac{8}{x^2+4}, y=\frac{1}{4} által határolt síktartomány területe, 4. <math>f(x)=\sqrt[3]{x}, g(x)=x^3</math>, a) síktartomány területe, bezárt előjeles terület, 5. <math>\int\limits_{-1}^{1}x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)dx</math>, 6. <math>\int\limits_{-1}^{1}2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}dx</math> | ||
+ | |||
+ | Implicit görbék által határolt területek: | ||
+ | 7. <math>y^2-2x-4y+6=0</math>, <math>y=-x+3</math>, | ||
+ | Paraméteres megadású görbék, terület és szektortartomány területe: | ||
+ | |||
+ | T=\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)dx=\int\limits_{t_1}^{t_2}y(t)\dot{x}(t)dt | ||
+ | |||
+ | 8. \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1, x=0, y=0 |
A lap 2014. február 16., 22:14-kori változata
Tartalomjegyzék |
1. gyakorlat
Házik: BaBcs. 12. fej.: 5, 24, 15, 70, 23, 68, 76, 90, 88, 158, 125, 138.
Órai:
integrálás helyettesítéssel: 65. , 48. , 34.
a helyettesítéses integrálás formulájával: 25. , 68'.
parciális integrálás: 78. , 83. , 90'. , 86.
további példák helyettesítéssel történő integrálásra: , , ,
2. gyakorlat
Házik: Babcs. később
Órai:
=Racionális törtek integrálása
A) A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata:
Gyökmódszer
-ben először tegyük x-be az egyik gyököt, az 0-t:
innen A=1/2, majd a másik gyököt:
azaz B=-1/2.
B) A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Ekkor a gyökmódszerrel: x=-1-re: -2C=2(-1)-7=-9, azaz C=9/2. x=1-re 4A=-5, A=-5/4 és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4
C) A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Itt a keresendő alak:
vegyes módszerrel: x=0: A=1 C=0, mert nincs a bal oldalon elsőfokú B=-A, mert másodfokú sincs.
Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl:
D) A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata Ekkor 1) a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni. 2) Osztrogradszkíj módszerével:
C=0, A=D, D=2B+1, 1-D+B=D, azaz C=0, B=-1/3, A=D=1/3
Területszámításos feladatok
Explicit görbék által határolt területek: 1. , 2. , 3. y=\frac{8}{x^2+4}, y=\frac{1}{4} által határolt síktartomány területe, 4. , a) síktartomány területe, bezárt előjeles terület, 5. , 6.
Implicit görbék által határolt területek: 7. y2 − 2x − 4y + 6 = 0, y = − x + 3, Paraméteres megadású görbék, terület és szektortartomány területe:
T=\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)dx=\int\limits_{t_1}^{t_2}y(t)\dot{x}(t)dt
8. \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1, x=0, y=0