Matematika közlek A2a 2014
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Az improprius integrál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Az improprius integrál) |
||
99. sor: | 99. sor: | ||
pr. fv.: <math>\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\frac{1}{x}</math> | pr. fv.: <math>\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\frac{1}{x}</math> | ||
− | <math>\int\limits_0^1 x\ln x\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{ | + | <math>\int\limits_0^1 x\ln x\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\right]_0^1=0-\frac{1}{4}-(0-0)=-\frac{1}{4}</math> |
===Lineáris algebra, alapfogalmak=== | ===Lineáris algebra, alapfogalmak=== |
A lap 2014. február 23., 21:46-kori változata
Tartalomjegyzék |
1. gyakorlat
Házik: BaBcs. 12. fej.: 5, 24, 15, 70, 23, 68, 76, 90, 88, 158, 125, 138.
Órai:
integrálás helyettesítéssel: 65. , 48. , 34.
a helyettesítéses integrálás formulájával: 25. , 68'.
parciális integrálás: 78. , 83. , 90'. , 86.
további példák helyettesítéssel történő integrálásra: , , ,
2. gyakorlat
Házik: Babcs. 12. fej. 163, 165, 169, 13. fej. 16, 27, 56, 67, 147
Órai:
Racionális törtek integrálása
A) A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata:
Gyökmódszer
-ben először tegyük x-be az egyik gyököt, az 0-t:
innen A=1/2, majd a másik gyököt:
azaz B=-1/2.
B) A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Ekkor a gyökmódszerrel: x=-1-re: -2C=2(-1)-7=-9, azaz C=9/2. x=1-re 4A=-5, A=-5/4 és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4
C) A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Itt a keresendő alak:
vegyes módszerrel: x=0: A=1 C=0, mert nincs a bal oldalon elsőfokú B=-A, mert másodfokú sincs.
Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl:
D) A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata Ekkor 1) a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni. 2) Osztrogradszkíj módszerével:
C=0, A=D, D=2B+1, 1-D+B=D, azaz C=0, B=-1/3, A=D=1/3
Területszámításos feladatok
Explicit görbék által határolt területek: 1. , 2. , 3. által határolt síktartomány területe, 4. , a) síktartomány területe, bezárt előjeles terület, 5. , 6.
Implicit görbék által határolt területek: 7. y2 − 2x − 4y + 6 = 0, y = − x + 3,
Paraméteres megadású görbék, terület és szektortartomány területe:
8. , x=0, y=0
9. parabolikus spirál:
3. gyakorlat
Az integrál alkalmazásai
Az improprius integrál
1) Integrál nem korlátos intervallumon:
(13.29)
2) Nem korlátos függvény integrálja:
(13.38)
(13.41)
pr. fv.:
3) Riemann-integrálható, impropriusan integrállal kiszámítható integrálok:
pr. fv.:
Lineáris algebra, alapfogalmak
1. Legyen V a legfeljebb 2.foku, valos egyutthatos polinomok halmaza. Igazoljuk, hogy V a szokasos muveletekkel vektorteret alkot (nem kell minden vektorter-axiomat ellenorizni, eleg, ha vilagos nekik, hogy miket kene ellenorizni, es mondjuk 1-2 axiomat tenyleg reszletesen ellenoriztek is).
2. Igazoljuk, hogy V (itt V az elobbi) izomorf R^3-al (azaz a 3 hosszu szamsorozatok vektorterevel). Jegyezzetek meg, hogy mivel R^3 vektorter, ezert az izomorfiabol is kovetkezik, hogy V is vektorter.
3. Legyen f: V --> R (itt V az elobbi), f(p) = p(2) (behelyettesites). Igazoljuk, hogy f linearis lekepezes.
4. Legyen W a tervektorok halmaza, f: W --> W egy elore rogzitett, origon atmeno sikra vonatkozo meroleges vetites. Jo alaposan ellenorizzetek, hogy f linearis lekepezes. Beszeljetek meg veluk, mi van akkor, ha az origo nincs benne az elore rogzitett sikban ? A megfelelo f akkor is linearis marad ?
5. Legyen F a folytonos fuggvenyek halmaza. Igazoljuk, hogy a szokasos muveletekkel ez is vektorter. Mi lesz az {1, 2x, 1-x^2} fuggvenyek altal generalt alter ? (Itt 1 a konstans-1 fv, es - a rossz gyakorlatot kovetve - x az identitas-fv akar lenni).
6. Az elobbi F-nek altere-e a paros fuggvenyek, illetve a paratlan fuggvenyek halmaza ?
7. Eloall-e az elobbi F-ben az x^3 fuggveny x^2 es cos(x) linearis kombinaciojakent ? (Tipp: nem, mert x^3 nem paros, mig x^2 es cos(x) benne van a paros fuggvenyek altereben).
8. Legyen V a tervektorok halmaza, legyen a egy rogzitett vektor, es legyen f: V --> V, f(v) = v x a (azaz f(v) = "v es a vektorialis szorzata"). Igazoljuk, hogy f linearis.
9. Legyen W a 4 hosszu szamsorozatok vektortere. Eloall-e a megadott vektor a megadott vektorrendszer lin. kombinaciojakent ? Ha igen, hogyan, ha nem, akkor miert nem...
(a) (3,3,4,5) {(1,2,3,4), (2,2,2,2), (1,0,0,0)}, (b) (3,3,4,5) {(1,2,3,4), (1,0,0,0)}, (c) (-4,-2,0,2) {1,2,3,4), (2,2,2,2)}, (d) (3,1,-7,5) {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) }.