Matematika közlek a3 2010 1. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Numerikus sorok)
 
(egy szerkesztő 12 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
==Numerikus sorok==
+
==Numerikus sor definíciója==
 +
 
 +
:<math>(a_n):\mathbf{N}\to \mathbf{R}</math> vagy <math>\mathbf{N}\to \mathbf{C}</math> sorozat, akkor ennek részletösszegsorozata:
 +
:<math>(s_n):n\mapsto\sum\limits_{k=1}^n a_k</math>
 +
:<math>(s_n)</math>-t az <math>(a_n)</math> sorozatból képezett '''sor'''nak nevezzük és azt mondjuk, hogy az <math>(s_n)</math> sor konvergens, és összege az
 +
:<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n</math>
 +
szám, ha az <math>(s_n)</math> sorozat konvergens, és határértéke
 +
:<math>\lim\limits_{n\to \infty}s_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n</math>
 +
''Megjegyzés'' A <math>z_n=x_n+iy_n</math> komplex sorozat konvergens és határértéke a ''z'' komplex szám, ha
 +
minden &epsilon;>0 szám esetén létezik N, hogy ha n>N, akkor |z_n-z|<&epsilon;. <math>(z_n)</math> konvergens pontosan akkor, ha <math>(x_n)</math> és <math>(y_n)</math> is konvergens, mint valós sorozat.
 +
 
  
 
'''1. ''' Számítsuk ki a következő sorok összegét (ha létezik)!
 
'''1. ''' Számítsuk ki a következő sorok összegét (ha létezik)!
7. sor: 17. sor:
 
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}</math>
 
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}</math>
 
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}</math>
 
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}</math>
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+3n+2}</math>
+
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+5n+4}</math> (!)
  
 
''Mo.''  
 
''Mo.''  
13. sor: 23. sor:
 
:<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(1+i)^{2n}}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i)^{n}}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2i}{3}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{2i}{3}}</math>
 
:<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(1+i)^{2n}}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i)^{n}}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2i}{3}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{2i}{3}}</math>
 
:<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\lim\limits_{n\to \infty}1-\frac{1}{n+1}=1</math>
 
:<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\lim\limits_{n\to \infty}1-\frac{1}{n+1}=1</math>
:<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}\lim\limits_{n\to \infty}1-\frac{1}{n+2}=1/2</math>
+
:<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=</math>
 +
:<math>\frac{1}{2}\lim\limits_{n\to \infty}1-\frac{1}{n+2}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+...\right)=\frac{3}{4}</math>
 +
: <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+5n+4}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+4)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+4}\right)=...</math>
  
'''2.''' Cauchy-kritérium, integrálkritérium, szükséges feltétel
+
==Cauchy-kritérium, integrálkritérium, szükséges feltétel==
 +
 
 +
''Cauchy-kritérium''. Az <math>(a_n)</math>-ből képezett <math>(s_n)</math> konvergens, pontosan akkor, ha minden &epsilon;>0-hoz létezik N, hogy minden m>n>N-re
 +
:<math>|s_m-s_n|<\varepsilon</math>
 +
 
 +
''Szükséges feltétel''. Ha &sum;<math>(a_n)</math> konvergens, akkor <math>(a_n)</math> nullsorozat.
 +
 
 +
''Integrálkritérium''. Ha az <math>f:[N,\infty]\to \mathbf{R}</math> monoton csükkenő és pozitív valós függvény, akkor az
 +
:<math>\int\limits_{N}^\infty f(x)\;\mathrm{d}x</math>
 +
impróprius integrál és a
 +
:<math>\sum\limits_{n=N}^\infty f(n)</math>
 +
numerikus sor egyszerre konvergens.
 +
 
 +
'''2.''' Konvergensek-e az alábbi sorok?
  
 
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n</math>
 
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n</math>
 
# <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}</math>
 
# <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}</math>
 
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
 
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left((-1)^n+1\right)\frac{1}{n^2}</math>
+
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left((-1)^n+1\right)\frac{1}{n}</math>
 
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}</math>
 
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}</math>
 
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\mathrm{arctg}\,n}</math>
 
# <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\mathrm{arctg}\,n}</math>
  
''Mo.''  
+
''Mo.''
<!-- : <math>s_m-s_n=\sum\limits_{k=0}^{m-n}\frac{k+n}{2^{k+n}}\leq \frac{m}{2^n}\sum\limits_{k=0}^{m-n}\frac{1}{2^k}=</math> -->
+
 
 +
:<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}</math>
 +
legyen &epsilon;=1, N tetszőleges, m=2N, n=N. Ekkor
 +
:<math>|s_m-s_n|=\sum\limits_{k=0}^{N-1}\frac{1}{N+k}\leq \sum\limits_{k=0}^{N-1}\frac{1}{N}=1</math>
 +
Intergálkritériummal:
 +
:<math>\int\limits_{0}^{\infty} xe^{-x}\;\mathrm{d}x=[x(-e^{-x})]_0^\infty-\int\limits_{0}^\infty-e^{-x}\;\mathrm{d}x=0+[e^{-x}]_0^\infty=1</math>

A lap jelenlegi, 2010. szeptember 15., 08:31-kori változata

Numerikus sor definíciója

(a_n):\mathbf{N}\to \mathbf{R} vagy \mathbf{N}\to \mathbf{C} sorozat, akkor ennek részletösszegsorozata:
(s_n):n\mapsto\sum\limits_{k=1}^n a_k
(sn)-t az (an) sorozatból képezett sornak nevezzük és azt mondjuk, hogy az (sn) sor konvergens, és összege az
\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n

szám, ha az (sn) sorozat konvergens, és határértéke

\lim\limits_{n\to \infty}s_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n

Megjegyzés A zn = xn + iyn komplex sorozat konvergens és határértéke a z komplex szám, ha minden ε>0 szám esetén létezik N, hogy ha n>N, akkor |z_n-z|<ε. (zn) konvergens pontosan akkor, ha (xn) és (yn) is konvergens, mint valós sorozat.


1. Számítsuk ki a következő sorok összegét (ha létezik)!

  1. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^n+7^n}{6^n}
  2. \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(1+i)^{2n}}{3^n}
  3. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}
  4. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}
  5. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+5n+4} (!)

Mo.

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(1+i)^{2n}}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i)^{n}}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2i}{3}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{2i}{3}}
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\lim\limits_{n\to \infty}1-\frac{1}{n+1}=1
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=
\frac{1}{2}\lim\limits_{n\to \infty}1-\frac{1}{n+2}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+...\right)=\frac{3}{4}
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+5n+4}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+4)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+4}\right)=...

Cauchy-kritérium, integrálkritérium, szükséges feltétel

Cauchy-kritérium. Az (an)-ből képezett (sn) konvergens, pontosan akkor, ha minden ε>0-hoz létezik N, hogy minden m>n>N-re

|s_m-s_n|<\varepsilon

Szükséges feltétel. Ha ∑(an) konvergens, akkor (an) nullsorozat.

Integrálkritérium. Ha az f:[N,\infty]\to \mathbf{R} monoton csükkenő és pozitív valós függvény, akkor az

\int\limits_{N}^\infty f(x)\;\mathrm{d}x

impróprius integrál és a

\sum\limits_{n=N}^\infty f(n)

numerikus sor egyszerre konvergens.

2. Konvergensek-e az alábbi sorok?

  1. \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n
  2. \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}
  3. \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
  4. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left((-1)^n+1\right)\frac{1}{n}
  5. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}
  6. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\mathrm{arctg}\,n}

Mo.

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}

legyen ε=1, N tetszőleges, m=2N, n=N. Ekkor

|s_m-s_n|=\sum\limits_{k=0}^{N-1}\frac{1}{N+k}\leq \sum\limits_{k=0}^{N-1}\frac{1}{N}=1

Intergálkritériummal:

\int\limits_{0}^{\infty} xe^{-x}\;\mathrm{d}x=[x(-e^{-x})]_0^\infty-\int\limits_{0}^\infty-e^{-x}\;\mathrm{d}x=0+[e^{-x}]_0^\infty=1
Személyes eszközök