Matematika közlek a3 2010 1. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2010. szeptember 6., 09:54-kor történt szerkesztése után volt.

Numerikus sorok

1. Számítsuk ki a következő sorok összegét (ha létezik)!

  1. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^n+7^n}{6^n}
  2. \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(1+i)^{2n}}{3^n}
  3. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}
  4. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}
  5. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+3n+2}

Mo.

\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(1+i)^{2n}}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2i)^{n}}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2i}{3}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{2i}{3}}
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\lim\limits_{n\to \infty}1-\frac{1}{n+1}=1
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}\lim\limits_{n\to \infty}1-\frac{1}{n+2}=1/2

2. Cauchy-kritérium, integrálkritérium, szükséges feltétel

  1. \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n
  2. \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}
  3. \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
  4. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left((-1)^n+1\right)\frac{1}{n^2}
  5. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}
  6. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\mathrm{arctg}\,n}
Személyes eszközök