Matematika közlek a3 2010 2. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2010. szeptember 15., 09:41-kori változata

Majoráns-, hányados-, gyök- és Leibniz-kritérium

Majoráns-kritérium -- Legyen $(a n)$ és $(b n)$ olyan, hogy egy indextől kezdődően $|a_n|\leq |b_n|$ és ∑ $(b n)$ konvergens. Ekkor ∑ $(a n)$ is konvergens (és ∑ $(b n)$ a majoráns sora).

Hányados-kritérium -- Legyen $(a n)$ olyan, hogy létezik a $\lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.$

ha $\lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|< 1$ , akkor ∑ $(a n)$ konvergens és
ha $\lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|> 1$ , akkor ∑ $(a n)$ divergens.

Gyök-kritérium -- Legyen $(a n)$ olyan, hogy létezik a $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}.$

ha $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}< 1$ , akkor ∑ $(a n)$ konvergens és
ha $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}> 1$ , akkor ∑ $(a n)$ divergens.

Leibniz-kritérium -- Ha $| a n |$ monoton csökkenő módon tart a 0-hoz, akkor $\sum((-1)^n a_n)$ konvergens.

1.

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n^3}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\ln n}}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n^3+3n^2+8}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}n!}{n^n}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n n^2 \sin \frac{1}{n^2}$

Mo.

$\frac{\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^{n}n!}{n^n}}=2 \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\to 2\frac{1}{e}<1$

Függvénysorozatok

Az azonos A ⊆ C halmazon értelmezett komplex vagy valós függvények $f_n:A\to \mathbf{C}$ sorozatának konvergenciatartományán azzon K halmazt értjük, melyhez pontosan akkor tartozik az x pont, ha az $(f n (x))$ sorozat konvergens.

4. Függvénysorozatok pontonkénti konvergenciája

$f_n(z)=\frac{zn^2+6n}{3n^2+zn}$
$f_n(z)=\frac{z^{n+4}}{3}$
$f_n(x)=\frac{x^n}{1+x^{2n}}$
$f_n(x)=n\sin\frac{x}{n}$

@@ 2. sor: / 2. sor: @@
 ''Majoráns-kritérium'' -- Legyen <math>(a_n)</math> és <math>(b_n)</math> olyan, hogy egy indextől kezdődően <math>|a_n|\leq |b_n|</math> és &sum;<math>(b_n)</math> konvergens. Ekkor  &sum;<math>(a_n)</math> is konvergens (és &sum;<math>(b_n)</math> a majoráns sora).
-''Hányados-kritérium'' -- Legyen (a_n) olyan, hogy létezik a <math>\lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.</math>
+''Hányados-kritérium'' -- Legyen <math>(a_n)</math> olyan, hogy létezik a <math>\lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.</math>
 # ha <math>\lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|< 1</math>, akkor &sum;<math>(a_n)</math> konvergens és
+# ha <math>\lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|> 1</math>, akkor &sum;<math>(a_n)</math> divergens.
+''Gyök-kritérium'' -- Legyen <math>(a_n)</math> olyan, hogy létezik a <math>\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}.</math>
+# ha <math>\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}< 1</math>, akkor &sum;<math>(a_n)</math> konvergens és
+# ha <math>\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}> 1</math>, akkor &sum;<math>(a_n)</math> divergens.
+''Leibniz-kritérium'' -- Ha <math>|a_n|</math> monoton csökkenő módon tart a 0-hoz, akkor <math>\sum((-1)^n a_n)</math> konvergens.
 '''1.'''

Matematika közlek a3 2010 2. gyakorlat

A lap 2010. szeptember 15., 09:41-kori változata

Majoráns-, hányados-, gyök- és Leibniz-kritérium

Függvénysorozatok

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök