Matematika közlek a3 2010 3. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex differenciálhatóság) |
||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
==Taylor-sor== | ==Taylor-sor== | ||
− | Sorbafejthető | + | Sorbafejthető (analitikus) függvény esetén a függvény előáll a következő sor alakjában: |
− | + | ||
− | alakjában: | + | |
:<math>f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(u)}{n!}(x-u)^n</math> | :<math>f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(u)}{n!}(x-u)^n</math> | ||
− | Nevezetes | + | Nevezetes sorok: |
− | + | ||
:<math>e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}x^n</math> | :<math>e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}x^n</math> | ||
:<math>\mathrm{ln}(1+x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n</math> | :<math>\mathrm{ln}(1+x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n</math> | ||
14. sor: | 11. sor: | ||
'''1. Feladat.''' ''u=0'' | '''1. Feladat.''' ''u=0'' | ||
:a) <math>f(z)=\frac{z}{2-z}</math> | :a) <math>f(z)=\frac{z}{2-z}</math> | ||
− | :b) <math>f(z)=z^4-2z^3+2</math>, ''u=1''. | + | :b) <math>f(z)=z^4-2z^3+2\,</math>, ''u=1''. |
− | :c) f(z)=\mathrm{ch}(z):=\frac{e^z+e^{-z}}{2} | + | :c) <math>f(z)=\mathrm{ch}(z):=\frac{e^z+e^{-z}}{2}</math> |
''Mo.'' | ''Mo.'' | ||
29. sor: | 26. sor: | ||
így a Taylor-sor: | így a Taylor-sor: | ||
<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}</math> | <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}</math> | ||
− | :b) | + | :b)<math>f(z)=z^4-2z^3+2\,</math> |
− | + | :<math>f'(z)=4z^3-2\cdot 3z^2\,</math> ---- 2 | |
− | :<math>f'(z)=4z^3-2\cdot 3z^2</math> ---- 2 | + | |
:<math>f''(z)=4\cdot 3 z^2-2\cdot 2\cdot 3z</math> ---- | :<math>f''(z)=4\cdot 3 z^2-2\cdot 2\cdot 3z</math> ---- | ||
:<math>f^{(4)}(z)=4\cdot 3\cdot 2 z-2\cdot 2\cdot 3</math> | :<math>f^{(4)}(z)=4\cdot 3\cdot 2 z-2\cdot 2\cdot 3</math> | ||
37. sor: | 33. sor: | ||
==Fourier-sor== | ==Fourier-sor== | ||
− | :<math>f(x)=\sum\limits_{n=0}^infty\left(a_n\cos\frac{n\pi | + | :<math>f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(a_n\cos\frac{n\pi |
− | x}{L} | + | x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right)</math> |
− | ahol: a<sub>0</sub>="átlag", b<sub>0</sub>=0, | + | ahol: a<sub>0</sub>="átlag", b<sub>0</sub>=0, L="félperiódus" |
− | L="félperiódus" | + | |
:<math>a_n=\frac{1}{L}\int\limits_{n=0}^{2L}f(x)\cos\frac{n\pi | :<math>a_n=\frac{1}{L}\int\limits_{n=0}^{2L}f(x)\cos\frac{n\pi | ||
x}{L}</math> | x}{L}</math> | ||
51. sor: | 46. sor: | ||
''Mo.'' | ''Mo.'' | ||
− | :<math>a_0=0, b_0=0</math> | + | :<math>a_0=0, b_0=0\,</math> |
:<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{x=-\pi}^\pi x\cos\frac{n\pi | :<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{x=-\pi}^\pi x\cos\frac{n\pi | ||
x}{\pi}\mathrm{d}x=\frac{1}{\pi}\int\limits_{x=-\pi}^\pi x\cos | x}{\pi}\mathrm{d}x=\frac{1}{\pi}\int\limits_{x=-\pi}^\pi x\cos | ||
75. sor: | 70. sor: | ||
'''3. Feladat.''' Hol diffható és mi a deriváltja? | '''3. Feladat.''' Hol diffható és mi a deriváltja? | ||
:a) <math>f(z)=z\overline{z}</math> | :a) <math>f(z)=z\overline{z}</math> | ||
− | :b) <math>f(z)=ln x</math> | + | :b) <math>f(z)=ln x\,</math> |
''Mo.'' | ''Mo.'' | ||
:a) <math>f(x,y)=(x+iy)(y-iy)=x^2+y^2+0.i</math> | :a) <math>f(x,y)=(x+iy)(y-iy)=x^2+y^2+0.i</math> | ||
81. sor: | 76. sor: | ||
0\end{pmatrix}</math> | 0\end{pmatrix}</math> | ||
Tehát csak a (0,0)-ban teljesül C--R. Itt a definíció szerint látjuk be: | Tehát csak a (0,0)-ban teljesül C--R. Itt a definíció szerint látjuk be: | ||
− | :<math>lim\limits_{z\to | + | :<math>\lim\limits_{z\to |
0}\frac{z\overline{z}}{z}=\lim\limits_{z\to 0}</math> | 0}\frac{z\overline{z}}{z}=\lim\limits_{z\to 0}</math> | ||
:b) | :b) | ||
polárkoordinátás alakban: | polárkoordinátás alakban: | ||
:<math>\mathrm{ln}(z)=\mathrm{ln}r+i\varphi+ik\pi</math> | :<math>\mathrm{ln}(z)=\mathrm{ln}r+i\varphi+ik\pi</math> |
A lap jelenlegi, 2010. szeptember 20., 16:24-kori változata
Taylor-sor
Sorbafejthető (analitikus) függvény esetén a függvény előáll a következő sor alakjában:
Nevezetes sorok:
1. Feladat. u=0
- a)
- b) , u=1.
- c)
Mo.
- a)
így a Taylor-sor:
- b)
- ---- 2
- ----
Fourier-sor
ahol: a0="átlag", b0=0, L="félperiódus"
2. Feladat.
f(x)=x (-π,\pi]
Mo.
...
Komplex differenciálhatóság
Cauchy--Riemann-egyenletek:
Polárkoordinátákban:
3. Feladat. Hol diffható és mi a deriváltja?
- a)
- b)
Mo.
- a) f(x,y) = (x + iy)(y − iy) = x2 + y2 + 0.i
Tehát csak a (0,0)-ban teljesül C--R. Itt a definíció szerint látjuk be:
- b)
polárkoordinátás alakban: