Matematika közlek a3 2010 3. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Komplex differenciálhatóság)
 
76. sor: 76. sor:
 
0\end{pmatrix}</math>
 
0\end{pmatrix}</math>
 
Tehát csak a (0,0)-ban teljesül C--R. Itt a definíció szerint látjuk be:
 
Tehát csak a (0,0)-ban teljesül C--R. Itt a definíció szerint látjuk be:
:<math>lim\limits_{z\to  
+
:<math>\lim\limits_{z\to  
 
0}\frac{z\overline{z}}{z}=\lim\limits_{z\to 0}</math>
 
0}\frac{z\overline{z}}{z}=\lim\limits_{z\to 0}</math>
 
:b)  
 
:b)  
 
polárkoordinátás alakban:
 
polárkoordinátás alakban:
 
:<math>\mathrm{ln}(z)=\mathrm{ln}r+i\varphi+ik\pi</math>
 
:<math>\mathrm{ln}(z)=\mathrm{ln}r+i\varphi+ik\pi</math>

A lap jelenlegi, 2010. szeptember 20., 15:24-kori változata

Taylor-sor

Sorbafejthető (analitikus) függvény esetén a függvény előáll a következő sor alakjában:

f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(u)}{n!}(x-u)^n

Nevezetes sorok:

e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}x^n
\mathrm{ln}(1+x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n
\sin
 x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}
\cos 
x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}

1. Feladat. u=0

a) f(z)=\frac{z}{2-z}
b) f(z)=z^4-2z^3+2\,, u=1.
c) f(z)=\mathrm{ch}(z):=\frac{e^z+e^{-z}}{2}

Mo.

a)

f'(z)=\frac{2-z-(-z)}{(2-z)^2}=\frac{2}{(2-z)^2}

f''(z)=
 \frac{-2(2-z)}{(2-z)^4}=\frac{-2}{(2-z)^3}
f^{(3)}(z)= \frac{+2\cdot 3(2-z)^2}{(2-z)^6}=\frac{2\cdot 
3}{(2-4)^4}
f^{(4)}(z)= \frac{-2\cdot 3\cdot 4\cdot 
(2-z)^3}{(2-z)^8}=\frac{-2\cdot 3\cdot 4}{(2-z)^5}
f^{(n)}(z)=\frac{(-1)^n n!}{(2-z)^{n+1}}

így a Taylor-sor: \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}

b)f(z)=z^4-2z^3+2\,
f'(z)=4z^3-2\cdot 3z^2\, ---- 2
f''(z)=4\cdot 3 z^2-2\cdot 2\cdot 3z ----
f^{(4)}(z)=4\cdot 3\cdot 2 z-2\cdot 2\cdot 3
f^{(5)}(z)=4\cdot 3\cdot 2 =24

Fourier-sor

f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(a_n\cos\frac{n\pi 
x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right)

ahol: a0="átlag", b0=0, L="félperiódus"

a_n=\frac{1}{L}\int\limits_{n=0}^{2L}f(x)\cos\frac{n\pi 
x}{L}
b_n=\frac{1}{L}\int\limits_{n=0}^{2L}f(x)\sin\frac{n \pi 
x}{L}

2. Feladat.

f(x)=x (-π,\pi]

Mo.

a_0=0, b_0=0\,
a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{x=-\pi}^\pi x\cos\frac{n\pi 
x}{\pi}\mathrm{d}x=\frac{1}{\pi}\int\limits_{x=-\pi}^\pi x\cos 
nx\,\mathrm{d}x

...

Komplex differenciálhatóság

Cauchy--Riemann-egyenletek:

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial 
y}
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial 
x}

Polárkoordinátákban:


\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial 
v}{\partial \varphi}
\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial 
\varphi}=-\frac{\partial v}{\partial r}

3. Feladat. Hol diffható és mi a deriváltja?

a) f(z)=z\overline{z}
b) f(z)=ln x\,

Mo.

a) f(x,y) = (x + iy)(yiy) = x2 + y2 + 0.i
df(x,y)=\begin{pmatrix}2x & 2y \\ 0 & 
0\end{pmatrix}

Tehát csak a (0,0)-ban teljesül C--R. Itt a definíció szerint látjuk be:

\lim\limits_{z\to 
0}\frac{z\overline{z}}{z}=\lim\limits_{z\to 0}
b)

polárkoordinátás alakban:

\mathrm{ln}(z)=\mathrm{ln}r+i\varphi+ik\pi
Személyes eszközök