Matematika verseny/2011

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Új oldal, tartalma: „ == Matematika verseny 2011 == A 2011. évi BME Matematika versenyt 2011. április 14-én rendezték meg. [[Matematika verseny|A verseny által…”)
 
(6. feladat)
50. sor: 50. sor:
 
ahol <math> \chi(G) </math> a megfelelő irányítatlan gráf kromatikus száma.
 
ahol <math> \chi(G) </math> a megfelelő irányítatlan gráf kromatikus száma.
 
Azaz az irányított kromatikus szám nem becsülhető a kromatikus szám ismeretében.
 
Azaz az irányított kromatikus szám nem becsülhető a kromatikus szám ismeretében.
 +
 +
=== A szerkesztő megjegyzése ===
 +
 +
A feladatot értsük úgy, hogy csak olyan G gráfokat tekintünk, amelyekben semelyik két csúcs között nincs oda-vissza él (így az irányított kromatikus szám mindig véges).
  
 
== 7. feladat ==
 
== 7. feladat ==

A lap 2013. április 10., 12:31-kori változata

== Matematika verseny 2011 ==

A 2011. évi BME Matematika versenyt 2011. április 14-én rendezték meg. A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon, a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján].

Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.

Tartalomjegyzék

1. feladat

Adott a,b,c,d oldalhosszúságú síkbeli négyszögek közül melyik lesz maximális területű? Az oldalak ebben a sorrendben csatlakoznak.

2. feladat

Melyek azok a tízes számrendszerben felírt természetes számok, melyek utolsó számjegyét az elejére áthelyezve az eredeti szám 2/3-át kapjuk?

3. feladat

Legyen A invertálható  n \times n -es mátrix. Tegyük fel, hogy az A és A − 1 mátrixok minden el eme nemnegatív. Bizonyítsuk be, hogy van olyan k > 0 egész, hogy Ak diagonális mátrix.

4. feladat

 \int_{0}^{\infty} e^{-(y^2+y^{-2})}dy = ?

5. feladat

a. Legyenek  v_1, \dots, v_n egységvektorok egy euklideszi térben,  |\langle v_i, v_j\rangle| < 1/(n-1) , ha  i \ne j . Mutassuk meg, hogy  v_1, \dots, v_n lineárisan függetlenek.

b. Lengyen m = (n − 1)n / 2 + 1,  v_1, \dots, v_m egységvektorok,  |\langle v_i, v_j\rangle|^2 < 1/(m - 1) , ha  i \ne j . Mutassuk meg, hogy  v_1, \dots, v_m közül kiválasztható n lineárisan független vektor.

6. feladat

Az irányított G egyszerű gráf irányított kromatikus száma, χi(G) az a legkisebb k, amelyre k színnel színezhetők a csúcsok úgy, hogy egy él két vége különböző színű és bármely adott színpárban csak az egyik irányba vezethet él. Mutassuk meg, hogy nincs olyan  f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} függvény, melyre  \chi_i(G) \le f(\chi(G)) teljesül minden G-re, ahol χ(G) a megfelelő irányítatlan gráf kromatikus száma. Azaz az irányított kromatikus szám nem becsülhető a kromatikus szám ismeretében.

A szerkesztő megjegyzése

A feladatot értsük úgy, hogy csak olyan G gráfokat tekintünk, amelyekben semelyik két csúcs között nincs oda-vissza él (így az irányított kromatikus szám mindig véges).

7. feladat

Mutassuk meg, hogy ha  f \in C(0, \infty) és minden x > 0-ra  \lim_{n\to\infty} f(x/n) = 0 , akkor  \lim_{x \to 0+} f(x) = 0 .

8. feladat

Legyen  1 \le k \le n . Mutassuk meg, hogy az  1, 2, \dots, n számok egy véletlen permutációjánál

a. 1 / k valószínűséggel lesznek az  1, 2, \dots, k számok ugyanabban a ciklusban,

b. 1 / k! valószínűséggel lesznek az  1, 2, \dots, k számok csupa különböző ciklusban.

9. feladat

Legyenek P,Q ortogonális projekciók egy véges dimenziós térben. Mutassuk meg, hogy

 \mathbf{Tr} e^{P+Q} \le \mathbf{Tr}(e^P e^Q).

10. feladat

Legyen f(z) reguláris a Rez > 0 félsíkon. Tegyük fel, hogy

 \lim_{z\to0, {\rm Re} z>0} \frac{f(z) - a_0}{z} = a_1.

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges δ > 0 esetén

 \lim_{z\to0, {\rm Re} z>\delta|{\rm Im} z|} f'(z) = a_1.

Megjegyzések

Személyes eszközök