Matematika verseny/2011

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→6. feladat)
(→8. feladat)
71. sor: 71. sor:
 
b. <math> 1/k! </math> valószínűséggel lesznek
 
b. <math> 1/k! </math> valószínűséggel lesznek
 
az <math> 1, 2, \dots, k </math> számok csupa különböző ciklusban.
 
az <math> 1, 2, \dots, k </math> számok csupa különböző ciklusban.
 +
 +
=== A szerkesztő megjegyzése ===
 +
 +
A feladatra van olyan megoldás, ami az a. és b. részt is megoldja, de olyan megoldás is, ami csak az a. részt oldja meg.
  
 
== 9. feladat ==
 
== 9. feladat ==

A lap 2013. április 10., 13:32-kori változata

== Matematika verseny 2011 ==

A 2011. évi BME Matematika versenyt 2011. április 14-én rendezték meg. A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon, a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján].

Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.

Tartalomjegyzék

1. feladat

Adott a,b,c,d oldalhosszúságú síkbeli négyszögek közül melyik lesz maximális területű? Az oldalak ebben a sorrendben csatlakoznak.

2. feladat

Melyek azok a tízes számrendszerben felírt természetes számok, melyek utolsó számjegyét az elejére áthelyezve az eredeti szám 2/3-át kapjuk?

3. feladat

Legyen A invertálható n \times n -es mátrix. Tegyük fel, hogy az A és A − 1 mátrixok minden el eme nemnegatív. Bizonyítsuk be, hogy van olyan k > 0 egész, hogy Ak diagonális mátrix.

4. feladat

\int_{0}^{\infty} e^{-(y^2+y^{-2})}dy = ?

5. feladat

a. Legyenek v_1, \dots, v_n egységvektorok egy euklideszi térben, |\langle v_i, v_j\rangle| < 1/(n-1) , ha i \ne j . Mutassuk meg, hogy v_1, \dots, v_n lineárisan függetlenek.

b. Lengyen m = (n − 1)n / 2 + 1, v_1, \dots, v_m egységvektorok, |\langle v_i, v_j\rangle|^2 < 1/(m - 1) , ha i \ne j . Mutassuk meg, hogy v_1, \dots, v_m közül kiválasztható n lineárisan független vektor.

6. feladat

Az irányított G egyszerű gráf irányított kromatikus száma, χi(G) az a legkisebb k, amelyre k színnel színezhetők a csúcsok úgy, hogy egy él két vége különböző színű és bármely adott színpárban csak az egyik irányba vezethet él. Mutassuk meg, hogy nincs olyan f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} függvény, melyre \chi_i(G) \le f(\chi(G)) teljesül minden G-re, ahol χ(G) a megfelelő irányítatlan gráf kromatikus száma. Azaz az irányított kromatikus szám nem becsülhető a kromatikus szám ismeretében.

A szerkesztő megjegyzése

A feladatot értsük úgy, hogy csak olyan G gráfokat tekintünk, amelyekben semelyik két csúcs között nincs oda-vissza él (így az irányított kromatikus szám mindig véges).

7. feladat

Mutassuk meg, hogy ha f \in C(0, \infty) és minden x > 0-ra \lim_{n\to\infty} f(x/n) = 0 , akkor \lim_{x \to 0+} f(x) = 0 .

8. feladat

Legyen 1 \le k \le n . Mutassuk meg, hogy az 1, 2, \dots, n számok egy véletlen permutációjánál

a. 1 / k valószínűséggel lesznek az 1, 2, \dots, k számok ugyanabban a ciklusban,

b. 1 / k! valószínűséggel lesznek az 1, 2, \dots, k számok csupa különböző ciklusban.

A szerkesztő megjegyzése

A feladatra van olyan megoldás, ami az a. és b. részt is megoldja, de olyan megoldás is, ami csak az a. részt oldja meg.

9. feladat

Legyenek P,Q ortogonális projekciók egy véges dimenziós térben. Mutassuk meg, hogy

\mathbf{Tr} e^{P+Q} \le \mathbf{Tr}(e^P e^Q).

10. feladat

Legyen f(z) reguláris a Rez > 0 félsíkon. Tegyük fel, hogy

\lim_{z\to0, {\rm Re} z>0} \frac{f(z) - a_0}{z} = a_1.

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges δ > 0 esetén

\lim_{z\to0, {\rm Re} z>\delta|{\rm Im} z|} f'(z) = a_1.

Megjegyzések

A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_verseny/2011&oldid=8687”
Személyes eszközök