Matematika verseny/2011
(Új oldal, tartalma: „ == Matematika verseny 2011 == A 2011. évi BME Matematika versenyt 2011. április 14-én rendezték meg. [[Matematika verseny|A verseny által…”)
Újabb szerkesztés →
A lap 2013. április 10., 13:30-kori változata
== Matematika verseny 2011 ==
A 2011. évi BME Matematika versenyt 2011. április 14-én rendezték meg. A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon, a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján].
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.
Tartalomjegyzék |
1. feladat
Adott a,b,c,d oldalhosszúságú síkbeli négyszögek közül melyik lesz maximális területű? Az oldalak ebben a sorrendben csatlakoznak.
2. feladat
Melyek azok a tízes számrendszerben felírt természetes számok, melyek utolsó számjegyét az elejére áthelyezve az eredeti szám 2/3-át kapjuk?
3. feladat
Legyen A invertálható -es mátrix. Tegyük fel, hogy az A és A − 1 mátrixok minden el eme nemnegatív. Bizonyítsuk be, hogy van olyan k > 0 egész, hogy Ak diagonális mátrix.
4. feladat
5. feladat
a. Legyenek egységvektorok egy euklideszi térben, , ha . Mutassuk meg, hogy lineárisan függetlenek.
b. Lengyen m = (n − 1)n / 2 + 1, egységvektorok, , ha . Mutassuk meg, hogy közül kiválasztható n lineárisan független vektor.
6. feladat
Az irányított G egyszerű gráf irányított kromatikus száma, χi(G) az a legkisebb k, amelyre k színnel színezhetők a csúcsok úgy, hogy egy él két vége különböző színű és bármely adott színpárban csak az egyik irányba vezethet él. Mutassuk meg, hogy nincs olyan függvény, melyre teljesül minden G-re, ahol χ(G) a megfelelő irányítatlan gráf kromatikus száma. Azaz az irányított kromatikus szám nem becsülhető a kromatikus szám ismeretében.
7. feladat
Mutassuk meg, hogy ha és minden x > 0-ra , akkor .
8. feladat
Legyen . Mutassuk meg, hogy az számok egy véletlen permutációjánál
a. 1 / k valószínűséggel lesznek az számok ugyanabban a ciklusban,
b. 1 / k! valószínűséggel lesznek az számok csupa különböző ciklusban.
9. feladat
Legyenek P,Q ortogonális projekciók egy véges dimenziós térben. Mutassuk meg, hogy
10. feladat
Legyen f(z) reguláris a Rez > 0 félsíkon. Tegyük fel, hogy
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges δ > 0 esetén