Matematika verseny/2012

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Új oldal, tartalma: „== Matematika verseny 2012 == A 2012. évi BME Matematika versenyt 2012. április 17-n rendezték meg. [[Matematika verseny|A verseny általán…”)
 
 
1. sor: 1. sor:
 
== Matematika verseny 2012 ==
 
== Matematika verseny 2012 ==
  
A 2012. évi [[Matematika verseny|BME Matematika versenyt]] 2012. április 17-n rendezték meg.  [[Matematika verseny|A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon]], [http://www.math.bme.hu/~horvath/verseny.html a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján]].   
+
A 2012. évi [[Matematika verseny|BME Matematika versenyt]] 2012. április 17-n rendezték meg.  [[Matematika verseny|A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon]], [http://www.math.bme.hu/~horvath/verseny.html a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján].   
  
 
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.
 
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.

A lap jelenlegi, 2013. április 10., 12:33-kori változata

Tartalomjegyzék

Matematika verseny 2012

A 2012. évi BME Matematika versenyt 2012. április 17-n rendezték meg. A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon, a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján.

Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.

1. feladat

Legyenek a és b relatív prím természetes számok. Melyik az a legnagyobb természetes szám, amely nem áll elő ak1 + bk2 alakban, ahol k1,k2 nemnegatív egészek?

2. feladat

Legyen  f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} folytonos függvény, melyre  \lim_{x\to\infty} \int_0^x f = A véges határérték. Mutassuk meg, hogy bármely δ > 0 mellet az  \int_0^\infty e^{-\delta t} f(t) dt improprius integrál konvergens és

 \lim_{\delta \to 0+} \int_0^\infty e^{-\delta t} f(t) dt = A.

3. feladat

Legyen T1(x) az ex függvény a pontbeli érintőegyenese. Melyik a értékre lesz max[0,1] | exT1(x) | a legkisebb?

4. feladat

Egy tetraéder AB és CD élei merőlegesek egymásra, mindegyik 2a hosszú. A felezőpontjaikat összekötő EF szakasz mindkét élre merőleges, az AC, AD, BC, BD éleknél lévő lapszögek 60°-osak. Meghatározandó a tetraéder beírt és körülírt gömbjeinek sugara.

5. feladat

Keressük meg az összes olyan  f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} folytonosan differenciálható függvénypárt, melyre f2 + g2 = 1 és f'2 + g'2 = 1.

6. feladat

Adott egy n szögpontú egyszerű gráf. Bizonyítsuk be, hogy

a. Ha minden pont foka legalább 3, akkor van a gráfban páros hosszú kör.

b. Abból, hogy minden pont foka legalább (n − 1) / 2, nem következik, hogy van a gráfban páratlan kör. Adjunk ellenpéldát minden n-re.

c. Ha minden pont foka legalább (n + 1) / 2, akkor van a gráfban páratlan kör.

7. feladat

Az  x \ge 0 félsíkban tekintsünk Kn köröket, melyek az origóban érintik az y tengelyt, és Kn sugara kétszerese Kn + 1 sugarának,  n = 1, 2, \dots . Adott jelre a Kn + 1 körök azonos konstans szögsebességgel gördülni kezdenek a Kn körvonalon, azt belülről érintve, negatív forgásirányban. A Kn kör középpontja által leírt görbe legyen Γn. Mi lesz Γn határgörbéje, ha  n \to \infty ? Adjuk meg a határgörbe paraméterezését.

8. feladat

A  \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} összeg milyen n esetén egész szám?

9. feladat

Legyen  f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} akárhányszor differenciálható és tegyük fel, hogy az  S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(x) függvénysor lokálisan egyenletesen konvergens. Adjuk meg az S(x) összegfüggvényt zárt alakban.

10. feladat

Legyenek  f, g : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^5 lineáris leképzések. Bizonyítsuk be, hogy vannak olyan  \mathbb{R}^3 = V_1 (+) V_2 ,  \mathbb{R}^5 = W_1 (+) W_2 direkt összeg-felbontások, hogy i = 1,2-re  f(V_i) \subset W_i ,  g(V_i) \subset W_i és  V_i (+) W_i \ne 0 .

11. feladat

Sorban állok a postán. n ablaknál szolgálják ki az ügyfeleket. Egyetlen sor van, ahonnan az éppen felszabaduló ablakhoz megy, aki következik. Egy ügyfél kiszolgálási ideje bármelyik ablaknál független, λ > 0 paraméterű exponenciális eloszlást követ. Mi a valószínűsége annak, hogy a k-ik ugánam következő előbb végez, mint én? Mi a válasz akkor, ha az i-ik ablaknál a kiszolgálási idő eloszlása λi > 0 paraméterű exponenciális eloszlás?

Megjegyzések

Személyes eszközök