Matematika verseny/2013

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Új oldal, tartalma: „== Matematika verseny 2013 == A 2012. évi BME Matematika versenyt 2013. április 15-n rendezték meg. [[Matematika verseny|A verseny általán…”)
 
4. sor: 4. sor:
  
 
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.
 
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.
 +
 +
Minden feladat 10 pontot ér.
  
 
== 1. feladat ==
 
== 1. feladat ==
 +
Adott a síkon 4 pont úgy, hogy egy láthatatlan négyzet minden oldalán pontosan egy fekszik belőle.  Szerkesszünk egy ilyen tulajdonságú négyzetet.  Mikor egyértelmű a megoldás?
 +
 +
== 2. feladat ==
 +
Adott 12 szám az (1, 12) intervallumon.  Lássuk be, hogy kiválasztható közülük 3 úgy, hogy az a háromszög, melynek oldalhosszai ezen értékek, hegyesszögű.  Igaz marad-e az állítás, ha a számokat az [1, 12] zárt szakaszból választjuk?
 +
 +
== 3. feladat ==
 +
Egy gráf „majdnem síkbarajzolható”, ha lerajzolható úgy a síkra, hogy minden élét legföljebb egyetlen másik él metszi.  Legyen ''e''<sub>''m''</sub>(''n'') az a maximális érték, amely élszámmal még létezik ''n'' csúcsú majdnem síkbarajzolható egyszerű gráf.  Adjunk meg minél jobb <math>c, \tilde{c}</math> értékeket, amelyre <math>\exists K</math> úgy, hogy <math>cn - K \le e_m(n) \le \tilde{c}n + K</math> minden „elég nagy” ''n''-re.
 +
 +
== 4. feladat ==
 +
Legyenek <math> v_0, \dots v_n \in \mathbb{R}^n </math> egy <math> \Delta \subset \mathbb{R}^n </math> szimplex csúcsai.  <math> \Delta </math> ''duálisa'' az a <math> \Delta^d </math> szimplex, amelynek csúcsai a <math> \textstyle w_j = \frac{1}{n} \sum_{k\ne j} v_k \;\; (j = 0..n)</math> pontok.  Bizonyítsuk be, hogy ha <math>K \subset \mathbb{R}^n </math> kompakt, konvex és nem üres belsejű, akkor létezik olyan <math> \Delta </math> szimplex, hogy <math> \Delta \supset K \supset \Delta^d </math>.
 +
 +
== 5. feladat ==
 +
 +
== 6. feladat ==
 +
 +
== 7. feladat ==
 +
 +
== 8. feladat ==
 +
 +
== 9. feladat ==
 +
 +
== 10. feladat ==

A lap 2013. április 16., 16:49-kori változata

Tartalomjegyzék

Matematika verseny 2013

A 2012. évi BME Matematika versenyt 2013. április 15-n rendezték meg. A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon, a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján.

Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.

Minden feladat 10 pontot ér.

1. feladat

Adott a síkon 4 pont úgy, hogy egy láthatatlan négyzet minden oldalán pontosan egy fekszik belőle. Szerkesszünk egy ilyen tulajdonságú négyzetet. Mikor egyértelmű a megoldás?

2. feladat

Adott 12 szám az (1, 12) intervallumon. Lássuk be, hogy kiválasztható közülük 3 úgy, hogy az a háromszög, melynek oldalhosszai ezen értékek, hegyesszögű. Igaz marad-e az állítás, ha a számokat az [1, 12] zárt szakaszból választjuk?

3. feladat

Egy gráf „majdnem síkbarajzolható”, ha lerajzolható úgy a síkra, hogy minden élét legföljebb egyetlen másik él metszi. Legyen em(n) az a maximális érték, amely élszámmal még létezik n csúcsú majdnem síkbarajzolható egyszerű gráf. Adjunk meg minél jobb c, \tilde{c} értékeket, amelyre \exists K úgy, hogy cn - K \le e_m(n) \le \tilde{c}n + K minden „elég nagy” n-re.

4. feladat

Legyenek  v_0, \dots v_n \in \mathbb{R}^n egy  \Delta \subset \mathbb{R}^n szimplex csúcsai. Δ duálisa az a Δd szimplex, amelynek csúcsai a  \textstyle w_j = \frac{1}{n} \sum_{k\ne j} v_k \;\; (j = 0..n) pontok. Bizonyítsuk be, hogy ha K \subset \mathbb{R}^n kompakt, konvex és nem üres belsejű, akkor létezik olyan Δ szimplex, hogy  \Delta \supset K \supset \Delta^d .

5. feladat

6. feladat

7. feladat

8. feladat

9. feladat

10. feladat

Személyes eszközök