Matematika verseny/2013

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Ambrus (vitalap | szerkesztései) 2013. április 16., 17:34-kor történt szerkesztése után volt.
(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)

Tartalomjegyzék

Matematika verseny 2013

A 2013. évi BME Matematika versenyt 2013. április 15-n rendezték meg. A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon, a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján.

Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.

Minden feladat 10 pontot ér.

1. feladat

Adott a síkon 4 pont úgy, hogy egy láthatatlan négyzet minden oldalán pontosan egy fekszik belőle. Szerkesszünk egy ilyen tulajdonságú négyzetet. Mikor egyértelmű a megoldás?

2. feladat

Adott 12 szám az (1, 12) intervallumon. Lássuk be, hogy kiválasztható közülük 3 úgy, hogy az a háromszög, melynek oldalhosszai ezen értékek, hegyesszögű. Igaz marad-e az állítás, ha a számokat az [1, 12] zárt szakaszból választjuk?

3. feladat

Egy gráf „majdnem síkbarajzolható”, ha lerajzolható úgy a síkra, hogy minden élét legföljebb egyetlen másik él metszi. Legyen em(n) az a maximális érték, amely élszámmal még létezik n csúcsú majdnem síkbarajzolható egyszerű gráf. Adjunk meg minél jobb c, \tilde{c} értékeket, amelyre \exists K úgy, hogy cn - K \le e_m(n) \le \tilde{c}n + K minden „elég nagy” n-re.

4. feladat

Legyenek  v_0, \dots v_n \in \mathbb{R}^n egy  \Delta \subset \mathbb{R}^n szimplex csúcsai. Δ duálisa az a Δd szimplex, amelynek csúcsai a  \textstyle w_j = \frac{1}{n} \sum_{k\ne j} v_k \;\; (j = 0..n) pontok. Bizonyítsuk be, hogy ha K \subset \mathbb{R}^n kompakt, konvex és nem üres belsejű, akkor létezik olyan Δ szimplex, hogy  \Delta \supset K \supset \Delta^d .

5. feladat

Legyen X egy olyan mátrix, amelynek minden elemének abszolút értéke legföljebb 1. Adjunk minél jobb – ha lehet, optimális – fölső becslést | det(X) | -re a következő két esetben: a) X 3×3-as valós, b) X n×n-es komplex.

6. feladat

Legyen  S \subset \mathbb{R} egy pozitív Lebesgue-mértékű halmaz. Bizonyítsuk be a kontinuum-hipotézis feltételezése nélkül, hogy S kontinuum számosságú.

7. feladat

Milyen  a_0 \in \mathbb{C} esetén lesz konvergens az  a_k = 2ka_{k-1} - 1 \;\; (k = 1,2,\dots) rekurziós relációval megadott sorozat, és mi ilyenkor a határérték?

8. feladat

Az  f : T \to \mathbb{C} folytonos, korlátos függvény a  T = \{z \in \mathbb{C} : 0 \le Im(z) \le 1\} tartomány belsejében holomorf. Legyen  \textstyle N(x) = \sup_{y \in \mathbb{R}} |f(x + iy)| . Bizonyítsuk be, hogy a)  N(x) \le max \{ N(0), N(1) \} és b)  N(x) \le N(0)^{1-x} N(1)^x minden  x \in [0, 1] -re.

9. feladat

Mutassuk meg, hogy egy pozitív szemidefinit mátrix pozitív szemidefinit gyöke egyértelmű (azaz ha  X, Y \ge 0 akkor  X^2 = Y^2 \Leftrightarrow X = Y ), és ezt kihasználva (vagy bárhogy máshogy) bizonyítsuk be, hogy az A, B pozitív definit mátrixok geometriai közepe

 A \mathbin\# B = A^{\frac{1}{2}} (A^{-\frac{1}{2}} B A^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} A^{\frac{1}{2}}

független a sorrendtől:  A \mathbin\# B = B \mathbin\# A .

10. feladat

Legyen X egy binomiális eloszlású valószínűségi változó n és p = 1/2 paraméterkkel, Z egy standard normális eloszlású változó és  \textstyle Y = \frac{1}{\sqrt{n}}(2X - n) . Mutassuk meg, hogy  \mathbf{E}(e^{tZ}) = e^{\frac{1}{2}t^2} és ezt kihasználva (vagy bárhogy máshogy) bizonyítsuk be, hogy  \textstyle \mathbf{E}(e^{tY^2}) = \mathbf{E}((\cosh(\sqrt{\frac{2t}{n}}Z))^n) minden t > 0 és n = 1, 2, .. értékekre.

Megjegyzések

Személyes eszközök