Matematikai előismeretek 14.

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Pozitív összefüggések)
(Pozitív összefüggések)
 
(egy szerkesztő 25 közbeeső változata nincs mutatva)
7. sor: 7. sor:
 
!11-edikes
 
!11-edikes
 
!12-edikes
 
!12-edikes
!összes:
+
!Összes
 
|-
 
|-
| garabonciás
+
| garabonciás:
 
| 38
 
| 38
 
| 42
 
| 42
 
|
 
|
 
|-
 
|-
| vajákos
+
| vajákos:
| 43
+
| 22
| 40
+
| 18
 
|  
 
|  
 
|-
 
|-
23. sor: 23. sor:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
|}
 +
Jelölés:
 +
{|
 +
!
 +
!11-edikes
 +
!12-edikes
 +
!Összes
 +
|-
 +
| garabonciás:
 +
| <math>f_1</math>
 +
| <math>f_2</math>
 +
| <math>f_1+f_2</math>
 +
|-
 +
| vajákos:
 +
| <math>f_3</math>
 +
| <math>f_4</math>
 +
| <math>f_3+f_4</math>
 +
|-
 +
| összes:
 +
| <math>f_1+f_3</math>
 +
| <math>f_2+f_4</math>
 +
| <math>f_1+f_2+f_3+f_4</math>
 +
|}
 +
 +
a) Számítsuk ki, hogy összesen hány garabonciás, vajákos, 11-edikes, 12-edikes van az iskolában és összesen hányan tanulnak a két utolsó évfolyamban!
 +
 +
b) Mi annak a valószínűsége, hogy A) egy véletlenszerűen választott 11-12-edikes diák vajákos? B) egy véletlenszerűen választott 11-12-edikes diák garabonciás? C) egy véletlenszerűen választott 11-12-edikes diák 11-edikes garabonciás?
 +
 +
c) Számítsuk ki, hogy mi az iskolában a 11-12-edikes garabonciások és vajákosok létszámának aránya! Határozzuk meg, hogy ha mindkét évfolyamon -- a valósággal szemben -- ebben az arányban oszlanának meg a garabonciások és vajákosok, akkor egy egyes évfolyamokon hány garabonciás és vajákos lenne egész főre kerekítve! Foglaljuk ezt táblázatba!
 +
 +
{|
 +
!
 +
!11-edikes
 +
!12-edikes
 +
|-
 +
| átlag garabonciás:
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
| átlag vajákos:
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
|}
 +
Jelölés:
 +
{|
 +
!
 +
!11-edikes
 +
!12-edikes
 +
|-
 +
| átlag garabonciás:
 +
| <math>f_1^*</math>
 +
| <math>f_2^*</math>
 +
|-
 +
| átlag vajákos:
 +
| <math>f_3^*</math>
 +
| <math>f_4^*</math>
 +
|-
 +
|}
 +
d) Az igazgató észrevette, hogy az előző évihez képest csökkent a garabonciások száma és nőtt a vajákosok száma. Arra gondolt, hogy ez nem véletlen, ezért megkérdezte az iskola számmisztika tanárát, hogy dolgozza fel az adatokat és adjon választ arra, hogy véletlen az eltérés, vagy nem lehet a véletlen műve és az eltérés szignifikáns. A számmisztika tanár a következőket javasolta: vonjuk ki az eredeti táblázat minden eleméből az átlag táblázatának minden megfelelő elemét, ezt tüntessük fel egy újabb táblázatban, majd számítsuk ki a következő (khí négyzet) számot:
 +
:<math>\chi^2=\frac{(f_1-f_1^*)^2}{f_1^*}+\frac{(f_2-f_2^*)^2}{f_2^*}+\frac{(f_3-f_3^*)^2}{f_3^*}+\frac{(f_4-f_4^*)^2}{f_4^*}
 +
</math>
 +
Ezek után a számmisztikus azt mondja, hogy ha
 +
:<math>\chi^2>3,85</math>
 +
akkor 5% annak a valószínűsége, hogy ez a véletlen műve (azaz 5%-os szinten szignifikáns az eltérés). Ha pedig az ellenkezője igaz, akkor 95%-os valószínűséggel tévedünk, ha ezt nem a véletlen művének gondoljuk. Végezzük el a döntést!
 +
 +
.
 +
.
 +
.
 +
.
 +
.
 +
 +
 +
'''2.''' Bergengócia Belügyminisztériuma a szakszervezetek hosszas unszolására megemeli az alabárdosok és porkolábok fizetését. Az első évben és a második évben is emel a minisztérium, de nem ugyanannyi tallérral. A táblázat azt jelzi, hogy az előző évihez képest hány tallérral emelkedett egy dolgozó fizetése.
 +
 +
{|
 +
!
 +
!első év
 +
!második év
 +
!
 +
|-
 +
| alabárdos:
 +
| 6
 +
| 12
 +
|-
 +
| porkoláb:
 +
| 6
 +
| 6
 +
|-
 +
| összes:
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
 +
A porkolábszakszervezet azt nehezményezi, hogy az emelés a porkolábokat kisebb mértékben érintette, míg a kormány azt mondja, hogy ez az eltérés statisztikailag nem szignifikáns (jelentős). Az előző eljárással, de a közös, egészre kerekített átlaggal, adjunk választ arra a kérdésre, hogy 1%, 5% vagy 10%-os szignifikanciaszinten igazak-e a szakszervezet állításai.
 +
 +
{|
 +
|-
 +
| 10%
 +
| 5%
 +
| 1%
 +
|-
 +
| 2,71
 +
| 3,84
 +
| 6,63
 +
|-
 
|}
 
|}

A lap jelenlegi, 2017. január 23., 08:49-kori változata

Pozitív összefüggések

1. Egy mágiatechnikai szakközépiskola 11-edikes és 12-edikes évfolyamán két képzés zajlik: garabonciás és vajákos. Az adatok a követekezőképpen néznek ki:

11-edikes 12-edikes Összes
garabonciás: 38 42
vajákos: 22 18
összes:

Jelölés:

11-edikes 12-edikes Összes
garabonciás: f1 f2 f1 + f2
vajákos: f3 f4 f3 + f4
összes: f1 + f3 f2 + f4 f1 + f2 + f3 + f4

a) Számítsuk ki, hogy összesen hány garabonciás, vajákos, 11-edikes, 12-edikes van az iskolában és összesen hányan tanulnak a két utolsó évfolyamban!

b) Mi annak a valószínűsége, hogy A) egy véletlenszerűen választott 11-12-edikes diák vajákos? B) egy véletlenszerűen választott 11-12-edikes diák garabonciás? C) egy véletlenszerűen választott 11-12-edikes diák 11-edikes garabonciás?

c) Számítsuk ki, hogy mi az iskolában a 11-12-edikes garabonciások és vajákosok létszámának aránya! Határozzuk meg, hogy ha mindkét évfolyamon -- a valósággal szemben -- ebben az arányban oszlanának meg a garabonciások és vajákosok, akkor egy egyes évfolyamokon hány garabonciás és vajákos lenne egész főre kerekítve! Foglaljuk ezt táblázatba!

11-edikes 12-edikes
átlag garabonciás:
átlag vajákos:

Jelölés:

11-edikes 12-edikes
átlag garabonciás: f_1^* f_2^*
átlag vajákos: f_3^* f_4^*

d) Az igazgató észrevette, hogy az előző évihez képest csökkent a garabonciások száma és nőtt a vajákosok száma. Arra gondolt, hogy ez nem véletlen, ezért megkérdezte az iskola számmisztika tanárát, hogy dolgozza fel az adatokat és adjon választ arra, hogy véletlen az eltérés, vagy nem lehet a véletlen műve és az eltérés szignifikáns. A számmisztika tanár a következőket javasolta: vonjuk ki az eredeti táblázat minden eleméből az átlag táblázatának minden megfelelő elemét, ezt tüntessük fel egy újabb táblázatban, majd számítsuk ki a következő (khí négyzet) számot:

\chi^2=\frac{(f_1-f_1^*)^2}{f_1^*}+\frac{(f_2-f_2^*)^2}{f_2^*}+\frac{(f_3-f_3^*)^2}{f_3^*}+\frac{(f_4-f_4^*)^2}{f_4^*}

Ezek után a számmisztikus azt mondja, hogy ha

χ2 > 3,85

akkor 5% annak a valószínűsége, hogy ez a véletlen műve (azaz 5%-os szinten szignifikáns az eltérés). Ha pedig az ellenkezője igaz, akkor 95%-os valószínűséggel tévedünk, ha ezt nem a véletlen művének gondoljuk. Végezzük el a döntést!

. . . . .


2. Bergengócia Belügyminisztériuma a szakszervezetek hosszas unszolására megemeli az alabárdosok és porkolábok fizetését. Az első évben és a második évben is emel a minisztérium, de nem ugyanannyi tallérral. A táblázat azt jelzi, hogy az előző évihez képest hány tallérral emelkedett egy dolgozó fizetése.

első év második év
alabárdos: 6 12
porkoláb: 6 6
összes:

A porkolábszakszervezet azt nehezményezi, hogy az emelés a porkolábokat kisebb mértékben érintette, míg a kormány azt mondja, hogy ez az eltérés statisztikailag nem szignifikáns (jelentős). Az előző eljárással, de a közös, egészre kerekített átlaggal, adjunk választ arra a kérdésre, hogy 1%, 5% vagy 10%-os szignifikanciaszinten igazak-e a szakszervezet állításai.

10% 5% 1%
2,71 3,84 6,63
Személyes eszközök