Matematikai előismeretek 3.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Permutáció) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
||
| 15. sor: | 15. sor: | ||
'''1.''' Anna, Gabó, Réka és Petra együtt mennek egyetemre. Hányféle sorrendben léphetik át az egyetem küszöbét, ha mind külön lépnek be? | '''1.''' Anna, Gabó, Réka és Petra együtt mennek egyetemre. Hányféle sorrendben léphetik át az egyetem küszöbét, ha mind külön lépnek be? | ||
| − | '''2.''' Hány különböző ötjegyű szám alkotható a páratlan számjegyekből? | + | '''2.''' Hány különböző ötjegyű szám alkotható a páratlan számjegyekből, ha mindegyik helyiértéken különböző számjegy áll? |
| − | '''3.''' Hány különböző ötjegyű szám alkotható a páros számjegyekből? | + | '''3.''' Hány különböző ötjegyű szám alkotható a páros számjegyekből, ha mindegyik helyiértéken különböző számjegy áll? |
| − | '''4.''' Kiteszünk az asztalra sorban négy üveget: Fanta, Sprite, Cherry Coke, Traubiszóda. Hányféle sorrendben rakhatjuk őket sorba? Hányféle sorrendben rakhatjuk őket sorba, ha a Coca Cola termékeket ugyanolyannak vesszük? | + | '''4.''' Kiteszünk az asztalra sorban négy üveget: Fanta, Sprite, Cherry Coke, Traubiszóda. a) Hányféle sorrendben rakhatjuk őket sorba? b) Hányféle sorrendben rakhatjuk őket sorba, ha a Coca Cola termékeket ugyanolyannak vesszük? |
'''5.''' Hányféleképpen állíthatunk sorba 7 fő 12. A-st és 6 fő 12. B-st, ha a sorrendben csak az számít, hogy melyik osztályban vannak, de az nem, hogy kik ők. | '''5.''' Hányféleképpen állíthatunk sorba 7 fő 12. A-st és 6 fő 12. B-st, ha a sorrendben csak az számít, hogy melyik osztályban vannak, de az nem, hogy kik ők. | ||
| 30. sor: | 30. sor: | ||
'''9.''' Egy öt csúcspontú teljes gráf minden csúcsát beszámozzuk. Hány különböző csúcsokból álló háromszöget színezhetünk ki benne? | '''9.''' Egy öt csúcspontú teljes gráf minden csúcsát beszámozzuk. Hány különböző csúcsokból álló háromszöget színezhetünk ki benne? | ||
| + | |||
| + | ==Megoldások== | ||
| + | |||
| + | '''1.''' Ez 4 elem összes permutációinak száma: 4!. Vagy először 4 lány közül választhatunk, majd 3, 2, és 1. Ezek egymástól független választások, ezért össze kell szoroznunk őket: <math>4\cdot 3\cdot 2\cdot 1</math>. | ||
| + | |||
| + | '''2.''' 5 páratlan számjegy van: 1, 3, 5, 7, 9, ezek összes permutációinak száma a kérdés: ez 5!. | ||
| + | |||
| + | '''3.''' 5 páros számjegy van: 0, 2, 4, 6, 8. Ezekből készítünk ötjegyű számokat. Ezek nem kezdődhetnek 0-val, ezért az első számjegy lehet | ||
| + | |||
| + | '''4.''' a) Ez 4 elem összes permutációinak száma: 4!. b) Ha a C.C. termékek ugyanolyannak minősülnek (jelöljük őket C-vel, a Traubiszódát | ||
| + | T-vel) akkor négy különböző sorozat lehetséges: TCCC, CTCC, CCTC, CCCT. Vagy, ha 4 elemet sorba rendezünk, akkor ezt 4!-féleképpen lehet megtenni. De akkor vannak esetek, amiket többször számoltunk, mert pl. a TFSC és a TFCS esetek ugyanannak minősülnek. Tehát minden esetet az F, C, S minden sorrendje ugyanannak minősül, ez 3!. Ennyiszerese az eredménynek az a) eset megoldása, tehát, ha ezeket az eseteket nem számoljuk: | ||
| + | :<math>\frac{4!}{3!}=4\,</math> | ||
| + | az összes lehetőségek száma. | ||
A lap 2016. szeptember 8., 20:00-kori változata
- Lásd még: Matematikai előismeretek
Permutáció
Ha adott az {a1, a2, a3, ..., an} véges, n elemű halmaz, akkor ennek egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük az elemei egy n elemű véges sorozatba rendezését.
Pl.: ha a halmaz a következő kártyalapokat tartalmazza: {kőr dáma, treff dáma, káró dáma, pikk dáma}, akkor ennek egy permutációja:
- (kőr dáma, káró dáma, pikk dáma, treff dáma), vagy (káró dáma, kőr dáma, treff dáma, pikk dáma), stb.
Ezek száma:
Példák
1. Anna, Gabó, Réka és Petra együtt mennek egyetemre. Hányféle sorrendben léphetik át az egyetem küszöbét, ha mind külön lépnek be?
2. Hány különböző ötjegyű szám alkotható a páratlan számjegyekből, ha mindegyik helyiértéken különböző számjegy áll?
3. Hány különböző ötjegyű szám alkotható a páros számjegyekből, ha mindegyik helyiértéken különböző számjegy áll?
4. Kiteszünk az asztalra sorban négy üveget: Fanta, Sprite, Cherry Coke, Traubiszóda. a) Hányféle sorrendben rakhatjuk őket sorba? b) Hányféle sorrendben rakhatjuk őket sorba, ha a Coca Cola termékeket ugyanolyannak vesszük?
5. Hányféleképpen állíthatunk sorba 7 fő 12. A-st és 6 fő 12. B-st, ha a sorrendben csak az számít, hogy melyik osztályban vannak, de az nem, hogy kik ők.
6. Hányféleképpen állíthatunk körbe 7 diákot?
7. Hányféleképpen állhat 7 diák körbe, ha Anna és Gergő feltétlenül egymás mellé kell, hogy kerüljenek?
8. Hány olyan hatjegyű szám létezik, melyben a tízesek helyén a 3-as van, és az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek mindegyike szerepel benne?
9. Egy öt csúcspontú teljes gráf minden csúcsát beszámozzuk. Hány különböző csúcsokból álló háromszöget színezhetünk ki benne?
Megoldások
1. Ez 4 elem összes permutációinak száma: 4!. Vagy először 4 lány közül választhatunk, majd 3, 2, és 1. Ezek egymástól független választások, ezért össze kell szoroznunk őket: 
.
2. 5 páratlan számjegy van: 1, 3, 5, 7, 9, ezek összes permutációinak száma a kérdés: ez 5!.
3. 5 páros számjegy van: 0, 2, 4, 6, 8. Ezekből készítünk ötjegyű számokat. Ezek nem kezdődhetnek 0-val, ezért az első számjegy lehet
4. a) Ez 4 elem összes permutációinak száma: 4!. b) Ha a C.C. termékek ugyanolyannak minősülnek (jelöljük őket C-vel, a Traubiszódát T-vel) akkor négy különböző sorozat lehetséges: TCCC, CTCC, CCTC, CCCT. Vagy, ha 4 elemet sorba rendezünk, akkor ezt 4!-féleképpen lehet megtenni. De akkor vannak esetek, amiket többször számoltunk, mert pl. a TFSC és a TFCS esetek ugyanannak minősülnek. Tehát minden esetet az F, C, S minden sorrendje ugyanannak minősül, ez 3!. Ennyiszerese az eredménynek az a) eset megoldása, tehát, ha ezeket az eseteket nem számoljuk:
az összes lehetőségek száma.
