Matematikai előismeretek 3.

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2016. szeptember 8., 19:29-kor történt szerkesztése után volt.
Lásd még: Matematikai előismeretek

Tartalomjegyzék

Permutáció

Ha adott az {a1, a2, a3, ..., an} véges, n elemű halmaz, akkor ennek egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük az elemei egy n elemű véges sorozatba rendezését.

Pl.: ha a halmaz a következő kártyalapokat tartalmazza: {kőr dáma, treff dáma, káró dáma, pikk dáma}, akkor ennek egy permutációja:

(kőr dáma, káró dáma, pikk dáma, treff dáma), vagy (káró dáma, kőr dáma, treff dáma, pikk dáma), stb.

Ezek száma:

P_n=n!\,

Példák

1. Anna, Gabó, Réka és Petra együtt mennek egyetemre. Hányféle sorrendben léphetik át az egyetem küszöbét, ha mind külön lépnek be?

2. Hány különböző ötjegyű szám alkotható a páratlan számjegyekből, ha mindegyik helyiértéken különböző számjegy áll?

3. Hány különböző ötjegyű szám alkotható a páros számjegyekből, ha mindegyik helyiértéken különböző számjegy áll?

4. Kiteszünk az asztalra sorban négy üveget: Fanta, Sprite, Cherry Coke, Traubiszóda. a) Hányféle sorrendben rakhatjuk őket sorba? b) Hányféle sorrendben rakhatjuk őket sorba, ha a Coca Cola termékeket ugyanolyannak vesszük?

5. Hányféleképpen állíthatunk sorba 7 fő 12. A-st és 6 fő 12. B-st, ha a sorrendben csak az számít, hogy melyik osztályban vannak, de az nem, hogy kik ők.

6. Hányféleképpen állíthatunk körbe 7 diákot?

7. Hányféleképpen állhat 7 diák körbe, ha Anna és Gergő feltétlenül egymás mellé kell, hogy kerüljenek?

8. Hány olyan hatjegyű szám létezik, melyben a tízesek helyén a 3-as van, és az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek mindegyike szerepel benne?

9. Egy öt csúcspontú teljes gráf minden csúcsát beszámozzuk. Hány különböző csúcsokból álló háromszöget színezhetünk ki benne?

Megoldások

1. Ez 4 elem összes permutációinak száma: 4!. Vagy először 4 lány közül választhatunk, majd 3, 2, és 1. Ezek egymástól független választások, ezért össze kell szoroznunk őket: 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.

2. 5 páratlan számjegy van: 1, 3, 5, 7, 9, ezek összes permutációinak száma a kérdés: ez 5!.

3. 5 páros számjegy van: 0, 2, 4, 6, 8. Ezekből készítünk ötjegyű számokat. Ezek nem kezdődhetnek 0-val, ezért az első számjegy lehet

4. a) Ez 4 elem összes permutációinak száma: 4!. b) Ha a C.C. termékek ugyanolyannak minősülnek (jelöljük őket C-vel, a Traubiszódát T-vel) akkor négy különböző sorozat lehetséges: TCCC, CTCC, CCTC, CCCT. Vagy, ha 4 elemet sorba rendezünk, akkor ezt 4!-féleképpen lehet megtenni. De akkor vannak esetek, amiket többször számoltunk, mert pl. a TFSC és a TFCS esetek ugyanannak minősülnek. Tehát minden esetet az F, C, S minden sorrendje ugyanannak minősül, ez 3!. Ennyiszerese az eredménynek az a) eset megoldása, tehát, ha ezeket az eseteket nem számoljuk:

\frac{4!}{3!}=4\,

az összes lehetőségek száma. (Ez tekinthető ismétléses permutációnak is.)

5.

\frac{13!}{7!\cdot 6!}\,

mert minden esetet többször, éspedig 7!\cdot 6!-szor számoltunk, mert ennyi sorrendje lehet a 7 ill. a 6 egy osztályba tartozó diáknak. (Ez tekinthető ismétléses permutációnak is.)

6. Ha sorban állnának, 7! lenne az eredmény. Mivel nincs első, ezért a sor bárhol kezdődhet, azt attól még ugyanaz az eset. Ez azt jelenti, hogy minden esetet 7-szer számoltunk, azaz ezzel kell leosztani a 7!-t. Azaz 6!. Vagy kijelölünk egy fixpontot. Innen már csak 6! lehetőség lehet a körön belül a sorba állításra.

7. Anna és Gergő kétféleképpen helyezkedhetnek el a körben egymás mellett. Ezután marad 5! a sorrendre, ez 2\cdot 5! lehetőség.

8. A tízesek helyére letesszük a 3-ast. A többi helyre 5!-féleképpen választhatunk számjegyeket, mert minden számnak legalább egyszer szerepelnie kell, amiből az következik, hogy pontosan egyszer.

9. Ha a háromszög A, B, C csúcsait megkülönböztetnék, akkor az A-nak 5, a B-nek 4, a C-nek 3 csúcsot választhatunk. Ezeknek a lehetőségeknek a száma 5\cdot 4\cdot 3. De a sorrend nem számít, azaz ezt 3!-sal el kell osztani: 10. (Ez felfogható kombinációnak is: 5 elemből kell kiválasztani 3-at, ez {5}\choose 3=10\,.)

Ismétléses permutáció

Legyen n elemünk és legyen ezek között k1,k2,...,kl darab azonos (tehát k1 + k2 + ... + kl = n). Ha mindezt az n elemet felsoroljuk egy n elemű véges sorozatban, akkor ezeknek az elemeknek egy ismétléses permutációját kapjuk. Ezeknek az elemeknek az összes ismétléses permutációinak számát a következőképpen számíthatjuk ki:

Értelmezés sikertelen (ismeretlen függvény\dcot): P_n^{k_1, k_2,\dots, k_l}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2\cdot\dots\dcot k_l!}

Személyes eszközök