Matematikai előismeretek 4.

_{Lásd még: Matematikai előismeretek}

Kombináció

Ha n különböző elemből kiválasztunk k elemet, akkor ezt az n elem k-ad osztályú kombinációjának nevezzük. Az n elem összes k-ad osztályú kombinációinak száma:

$C^{k}_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,$

Ez azonos a Pascal-háromszög n-nel indexelt sorának k-val indexelt elemével, azaz $n\choose k$-vel. Továbbá azonos az n elemű halmaz összes k elemszámú részhalmazainak számával.

Példák

1. a) Négy ember egyszerre érkezik a kétszemélyes személyfelvonóhoz. Hányféle összeállításban utazhatnak a liftben? b) Ugyanez a kérdés öt emberrel, és b) öt emberrel és háromszemélyes lifttel.

2. Postán 12 rekeszbe 5 levelet tesz a néni. Mindegyikbe legfeljebb csak egyet. Hányféleképpen helyezheti el a rekeszekbe, ha a leveleket nem tudja megkülönböztetni? Számoljuk is ki!

3. Hatoslottón 45 számból kell eltalálni a kihúzott 6-ot. Legalább hány szelvényt kell kitölteni, hogy biztosan legyen hatosunk?

4. Hány éle van egy hét csúcspontú teljes (egyszerű) gráfnak?

5. Hány különböző síkot fektethetünk egyértelműen a térben négy általános helyzetű pontra? És hány egyenest? (Mi az a tetraéder? Euler--Descartes-formula: csúcsok + lapok - élek = 2. Kockára? Ötoldalú gúlára?)

6. a) Egy teljes gráf összes éleinek száma 78. Hány csúcspontú ez a gráf? b) Egy teljes gráf összes éleinek és csúcsainak számának összege 36. Hány csúcspontú ez a gráf?