Matematikai előismeretek 4.

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2016. szeptember 8., 21:21-kor történt szerkesztése után volt.
Lásd még: Matematikai előismeretek

Kombináció

Ha n különböző elemből kiválasztunk k elemet, akkor ezt az n elem k-ad osztályú kombinációjának nevezzük. Az n elem összes k-ad osztályú kombinációinak száma:

C^{k}_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,

Ez azonos a Pascal-háromszög n-nel indexelt sorának k-val indexelt elemével, azaz n\choose k-vel. Továbbá azonos az n elemű halmaz összes k elemszámú részhalmazainak számával.

Példák

1. a) Négy ember egyszerre érkezik a kétszemélyes személyfelvonóhoz. Hányféle összeállításban utazhatnak a liftben? b) Ugyanez a kérdés öt emberrel, és b) öt emberrel és háromszemélyes lifttel.

2. Postán 12 rekeszbe 5 levelet tesz Náncsi néni. Mindegyikbe legfeljebb csak egyet. Hányféleképpen helyezheti el a rekeszekbe, ha a leveleket nem tudja megkülönböztetni? Számoljuk is ki!

3. Hatoslottón 45 számból kell eltalálni a kihúzott 6-ot. Legalább hány szelvényt kell kitölteni, hogy biztosan legyen hatosunk?

4. Hány éle van egy hét csúcspontú teljes (egyszerű) gráfnak?

5. Hány különböző síkot fektethetünk egyértelműen a térben négy általános helyzetű pontra? És hány egyenest? (Mi az a tetraéder? Euler--Descartes-formula: csúcsok + lapok - élek = 2. Kockára? Ötoldalú gúlára?)

6. a) Egy teljes gráf összes éleinek száma 78. Hány csúcspontú ez a gráf? b) Egy teljes gráf összes éleinek és csúcsainak számának összege 36. Hány csúcspontú ez a gráf?

7. Naruto (N) megtanítja Szakurát (S) és Szaszukét (E) a klóndzsucura. Egy háromszemélyes liftbe szeretnének beszállni, klónok is beszállhatnak. Hányféle elrendezésben utazhatnak a liftben? (Ezt ismétléses kombináció.)

8. Kódoljuk az előző feladat szituációit a pötty-vonal kódolással: pl. NNS < -- > **|*| , NSS < -- > *|**, SEE < -- > |*|**, ... Gondoljuk végig, hogy ez a kódolás kölcsönösen egyértelmű! Vegyük észre, hogy ezek száma ugyanaz, mintha n+k-1 helyre kéne lerakni k pöttyöt. Ezzel is számoljuk ki az eredményt! (Ezt ismétléses kombináció.) (Az ilyen gondolatmenetet bijekciós módszernek is nevezik.)

9. A 2. feladatban szereplő Náncsi néninek megengedik, hogy egy rekeszbe több levelet is tegyen. Hány lehetőség lesz így? (Ezt ismétléses kombináció.)

Ismétléses kombináció

Ha n elemből k elemet akarunk kiválasztani (a sorrendtől eltekintve) úgy, hogy minden elem többször is előfordulhat, akkor ezt

C^{n,i}_{n}=n+k-1\choose k\,

-féleképpen tehetjük meg.

Személyes eszközök