Matematikai előismeretek 5.

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Példák)
(Példák)
 
37. sor: 37. sor:
 
:f) konstans,
 
:f) konstans,
 
:g*) csupa pozitív értékű,  
 
:g*) csupa pozitív értékű,  
:h*) csupa negatív értékű,
+
:h*) csupa negatív értékű
 +
legyen.
 +
 
 +
'''3.''' Számítsuk ki az n-edik tagot és az első n tag összegét!
 +
:a) <math>a_1=5</math>, <math>d=-4</math>, <math>n=7</math>
 +
:b) <math>a_2=6</math>, <math>d=5</math>, <math>n=6</math>
 +
:c) <math>a_3=4</math>, <math>d=-2</math>, <math>n=8</math>
 +
:d) <math>a_7=12</math>, <math>d=\frac{1}{3}</math>, <math>n=1</math>
 +
:e) <math>a_2=\log_2 \frac{1}{4}</math>, <math>d=\log_3 27</math>, <math>n=4</math>
 +
:f) <math>a_1=\log_2 \sqrt{2}</math>, <math>d=\log_3 \sqrt{3}</math>, <math>n=4</math>

A lap jelenlegi, 2016. szeptember 29., 20:47-kori változata

Lásd még: Matematikai előismeretek

Számtani sorozat

(a1, a2, a3, a4, ... )

számtani sorozat, ha van olyan d szám, hogy

a2a1 = a3a2 = a4a3 = a5a4 = ... = d.

Ilyenkor d a számtani sorozat differenciája. Ha (an) számtani sorozat, akkor

a_n=a_1+(n-1)d\,
\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=a_n, minden n-re, ha an − 1 is a sorozat tagja.
\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}=a_n, minden n-re és k-ra, ha ank is a sorozat tagja.

Egy sorozat pontosan akkor számtani sorozat, ha bármely egymás követő három tagja közül a második a számtani közepe az elsőnek és a harmadiknak.

A sorozat első n tagjának összege, azaz Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an a következőképpen számítható ki:

S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n illetve
S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n

Példák

1. Számtani sorozatot alkotnak-e az alábbi sorozatok? Ha igen, mi a differenciájuk és az első tagjuk? Ha nem, melyik három egymást követő tag hibádzik?

a) -7, -4, -1, 2, 5
b) 2, 4, 8, 16
c) -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1
d) \sqrt{2}, \sqrt{2}+2\sqrt{3}, \sqrt{2}+\sqrt{12}, \sqrt{2}+6\sqrt{3}
e) 0\,, \sqrt{5}, \sqrt{20}, \sqrt{45}
f) \cos(-\pi)\,, \cos\left(\frac{\pi}{2}\right), \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)
g) -\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right), \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)
h) \log_2 1\,, \log_2 4\,, \log_2 7\,, \log_2 10\,,
i) \log_2 2\,, \log_2 4\,, \log_2 8\,, \log_2 16\,
j) \log_3 4\,, \log_3 9\,, \log_3 16\,, \log_3 25\,
k) \log_3 \frac{1}{9}, \log_3 \frac{1}{3}, \log_3 1\,, \log_3 3\,

2. Adjuk meg a b és c számok értékét úgy, hogy az a_n=b+c\cdot n sorozat

a) szigorúan monoton növekvő,
b) szigorúan monoton csökkenő (fogyó),
c) monoton növekvő,
d) monoton csökkenő (fogyó),
e) periodikus,
f) konstans,
g*) csupa pozitív értékű,
h*) csupa negatív értékű

legyen.

3. Számítsuk ki az n-edik tagot és az első n tag összegét!

a) a1 = 5, d = − 4, n = 7
b) a2 = 6, d = 5, n = 6
c) a3 = 4, d = − 2, n = 8
d) a7 = 12, d=\frac{1}{3}, n = 1
e) a_2=\log_2 \frac{1}{4}, d = log327, n = 4
f) a_1=\log_2 \sqrt{2}, d=\log_3 \sqrt{3}, n = 4
Személyes eszközök