Matematikai előismeretek 5.

_{Lásd még: Matematikai előismeretek}

Számtani sorozat

(a₁, a₂, a₃, a₄, ... )

számtani sorozat, ha van olyan d szám, hogy

a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = a₄ − a₃ = a₅ − a₄ = ... = d.

Ilyenkor d a számtani sorozat differenciája. Ha (a_n) számtani sorozat, akkor

$a_n=a_1+(n-1)d\,$

$\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=a_n$, minden n-re, ha a_{n − 1} is a sorozat tagja.

$\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}=a_n$, minden n-re és k-ra, ha a_{n − k} is a sorozat tagja.

Egy sorozat pontosan akkor számtani sorozat, ha bármely egymás követő három tagja közül a második a számtani közepe az elsőnek és a harmadiknak.

A sorozat első n tagjának összege, azaz S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n a következőképpen számítható ki:

$S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$ illetve

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

Példák

1. Számtani sorozatot alkotnak-e az alábbi sorozatok? Ha igen, mi a differenciájuk és az első tagjuk? Ha nem, melyik három egymást követő tag hibádzik?

a) -7, -4, -1, 2, 5

b) 2, 4, 8, 16

c) -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1

d) $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}+2\sqrt{3}$, $\sqrt{2}+\sqrt{12}$, $\sqrt{2}+6\sqrt{3}$