Matematikai előismeretek 7.

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap jelenlegi, 2016. október 13., 20:45-kori változata

_{Lásd még: Matematikai előismeretek}

Mértani sorozat

(

a 1

,

a 2

,

a 3

,

a 4

, ... )

mértani sorozat, ha van olyan q szám, hogy a sorozat tagjai:

$a_1, a_1\cdot q, a_1\cdot q^2, a_1\cdot q^3, ...$

alakúak. Ilyenkor q-t a mértani sorozat kvociensének nevezzük. Ha q nem nulla, akkor ezt azt is jelenti, hogy

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}=\frac{a_5}{a_4}=...=q$

Ha pedig q nulla, akkor nyilván

a 1

tetszőleges,

a 2 = a 3 = ... = 0

Ha ( $a n$ ) mértani sorozat, akkor

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}\,$

nemnegatív tagokra:

$\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}=a_n$ , minden n-re, ha

a n - 1

is a sorozat tagja.

$\sqrt{a_{n-k}\cdot a_{n+k}}=a_n$ , minden n-re és k-ra, ha

a n - k

is a sorozat tagja.

Egy nemnegatív sorozat pontosan akkor mértani sorozat, ha bármely egymás követő három tagja közül a második a számtani közepe az elsőnek és a harmadiknak. Általában pedig pontosan akkor mértani, ha $a_n=a_1\cdot q^{n-1}\,$ teljesül rá.

A sorozat első n tagjának összege, azaz $S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n$ a következőképpen számítható ki:

$S_n=a_1\frac{q^{n}-1}{q-1}$

Példák

1. Mértani sorozatot alkotnak-e az alábbi sorozatok? Ha igen, mi a kvóciensük és az első tagjuk? Ha nem, melyik három egymást követő tag hibádzik?

a) 0,5; 1; 1,5

b) 2, 4, 8, 16

c) -2, 4, -8, 16, -32

d) $\sqrt{3}$ , $\sqrt{12}$ , $3\sqrt{3}$ , $4\sqrt{3}$

e) $\sqrt{5}$ , $\sqrt{20}$ , $4\sqrt{5}$

f) $\cos(\pi)\,$ , $\sin\frac{\pi}{2}$ , $\sin-\frac{\pi}{2}$ ,

cos0

g) $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{16}$ , $\frac{1}{32}$ , $\frac{1}{64}$

h) $\log_2 2\,$ , $\log_2 4\,$ , $\log_2 16\,$ , $\log_2 256\,$ ,

i) $\log_2 2\,$ , $\log_2 \frac{1}{4}\,$ , $\log_2 16\,$ , $\log_2 \frac{1}{256}\,$ ,

j) $\log_4 3\,$ , $\log_4 9\,$ , $\log_4 81\,$ ,

k) $\log_5 \frac{1}{9}$ ,

log 59

, $\log_5 \frac{1}{9}\,$ , $\log_5 9\,$

2. Számítsuk ki az n-edik tagot és az első n tag összegét!

a)

a 1 = 5

,

q = - 4

,

n = 3

b)

a 2 = 6

,

q = 2

,

n = 5

c)

a 3 = 6

,

q = - 3

,

n = 4

d) $a_3=\frac{7}{4}$ , $q=\frac{1}{2}$ ,

n = 1

e) $a_1=\log_7 \frac{1}{2}$ ,

q = 3

,

n = 3

f) $a_1=\log_2 \sqrt{2}$ , $q=\log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ ,

n = 4

3. Adjuk meg a b és c számok értékét úgy, hogy az $a_n=b\cdot c^n$ sorozat

a) periodikus,

d) csupa pozitív értékű,

c) szigorúan monoton növekvő,

d) szigorúan monoton csökkenő (fogyó),

legyen.

@@ 4. sor: / 4. sor: @@
 :(<math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math>, <math>a_4</math>, ... )
-mértani sorozat, ha van olyan ''q'' szám, hogy
+mértani sorozat, ha van olyan ''q'' szám, hogy a sorozat tagjai:
-:<math>\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}=\frac{a_5}{a_4}=...=q</math>.
+:<math>a_1, a_1\cdot q, a_1\cdot q^2, a_1\cdot q^3, ...</math>
-Ilyenkor ''q''-t a mértani sorozat ''kvociensének'' nevezzük. Megengedjük, hogy q=0 legyen, ekkor a fenti helyett
+alakúak. Ilyenkor ''q''-t a mértani sorozat ''kvociensének'' nevezzük. Ha q nem nulla, akkor ezt azt is jelenti, hogy
+:<math>\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}=\frac{a_5}{a_4}=...=q
+</math>
+Ha pedig q nulla, akkor nyilván
 :<math>a_1</math> tetszőleges, <math>a_2=a_3=...=0</math>
@@ 18. sor: / 21. sor: @@
 A sorozat első ''n'' tagjának összege, azaz <math>S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n</math> a következőképpen számítható ki:
 :<math>S_n=a_1\frac{q^{n}-1}{q-1}</math>
 ==Példák==
-'''1.''' Számtani sorozatot alkotnak-e az alábbi sorozatok? Ha igen, mi a differenciájuk és az első tagjuk? Ha nem, melyik három egymást követő tag hibádzik?
+'''1.''' Mértani sorozatot alkotnak-e az alábbi sorozatok? Ha igen, mi a kvóciensük és az első tagjuk? Ha nem, melyik három egymást követő tag hibádzik?
-:a) -7, -4, -1, 2, 5
+:a) 0,5; 1; 1,5
 :b) 2, 4, 8, 16
-:c) -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1
+:c) -2, 4, -8, 16, -32
-:d) <math>\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{2}+2\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{2}+\sqrt{12}</math>, <math>\sqrt{2}+6\sqrt{3}</math>
+:d) <math>\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{12}</math>, <math>3\sqrt{3}</math>, <math>4\sqrt{3}</math>
-:e) <math>0\,</math>, <math>\sqrt{5}</math>, <math>\sqrt{20}</math>, <math>\sqrt{45}</math>
+:e) <math>\sqrt{5}</math>, <math>\sqrt{20}</math>, <math>4\sqrt{5}</math>
-:f) <math>\cos(-\pi)\,</math>, <math>\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)</math>, <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)</math>
+:f) <math>\cos(\pi)\,</math>, <math>\sin\frac{\pi}{2}</math>, <math>\sin-\frac{\pi}{2}</math>,  <math>\cos 0</math>
-:g) <math>-\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)</math>, <math>\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)</math>, <math>\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)</math>
+:g) <math>\frac{1}{8}</math>, <math>\frac{1}{16}</math>, <math>\frac{1}{32}</math>, <math>\frac{1}{64}</math>
-:h) <math>\log_2 1\,</math>, <math>\log_2 4\,</math>, <math>\log_2 7\,</math>, <math>\log_2 10\,</math>,
+:h) <math>\log_2 2\,</math>, <math>\log_2 4\,</math>, <math>\log_2 16\,</math>, <math>\log_2 256\,</math>,
-:i) <math>\log_2 2\,</math>, <math>\log_2 4\,</math>, <math>\log_2 8\,</math>, <math>\log_2 16\,</math>
+:i) <math>\log_2 2\,</math>, <math>\log_2 \frac{1}{4}\,</math>, <math>\log_2 16\,</math>, <math>\log_2 \frac{1}{256}\,</math>,
-:j) <math>\log_3 4\,</math>, <math>\log_3 9\,</math>, <math>\log_3 16\,</math>, <math>\log_3 25\,</math>
+:j) <math>\log_4 3\,</math>, <math>\log_4 9\,</math>, <math>\log_4 81\,</math>,
-:k) <math>\log_3 \frac{1}{9}</math>, <math>\log_3 \frac{1}{3}</math>, <math>\log_3 1\,</math>, <math>\log_3 3\,</math>
+:k) <math>\log_5 \frac{1}{9}</math>, <math>\log_5 9</math>, <math>\log_5 \frac{1}{9}\,</math>, <math>\log_5 9\,</math>
-'''2.''' Adjuk meg a ''b'' és ''c'' számok értékét úgy, hogy az <math>a_n=b+c\cdot n</math> sorozat
-:a) szigorúan monoton növekvő,
-:b) szigorúan monoton csökkenő (fogyó),
-:c) monoton növekvő,
-:d) monoton csökkenő (fogyó),
-:e) periodikus,
-:f) konstans,
-:g*) csupa pozitív értékű,
-:h*) csupa negatív értékű
-legyen.
-'''3.''' Számítsuk ki az n-edik tagot és az első n tag összegét!
+'''2.''' Számítsuk ki az n-edik tagot és az első n tag összegét!
-:a) <math>a_1=5</math>, <math>d=-4</math>, <math>n=7</math>
+:a) <math>a_1=5</math>, <math>q=-4</math>, <math>n=3</math>
-:b) <math>a_2=6</math>, <math>d=5</math>, <math>n=6</math>
+:b) <math>a_2=6</math>, <math>q=2</math>, <math>n=5</math>
-:c) <math>a_3=4</math>, <math>d=-2</math>, <math>n=8</math>
+:c) <math>a_3=6</math>, <math>q=-3</math>, <math>n=4</math>
-:d) <math>a_7=12</math>, <math>d=\frac{1}{3}</math>, <math>n=1</math>
+:d) <math>a_3=\frac{7}{4}</math>, <math>q=\frac{1}{2}</math>, <math>n=1</math>
-:e) <math>a_2=\log_2 \frac{1}{4}</math>, <math>d=\log_3 27</math>, <math>n=4</math>
+:e) <math>a_1=\log_7 \frac{1}{2}</math>, <math>q=3</math>, <math>n=3</math>
-:f) <math>a_1=\log_2 \sqrt{2}</math>, <math>d=\log_3 \sqrt{3}</math>, <math>n=4</math>
+:f) <math>a_1=\log_2 \sqrt{2}</math>, <math>q=\log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}}</math>, <math>n=4</math>
+'''3.''' Adjuk meg a ''b'' és ''c'' számok értékét úgy, hogy az <math>a_n=b\cdot c^n</math> sorozat
+:a) periodikus,
+:d) csupa pozitív értékű,
+:c) szigorúan monoton növekvő,
+:d) szigorúan monoton csökkenő (fogyó),
+legyen.

Matematikai előismeretek 7.

A lap jelenlegi, 2016. október 13., 20:45-kori változata

Mértani sorozat

Példák

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök