Matematikai előismeretek 7.

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→Példák)
(→Példák)
26. sor: 26. sor:
 
:d) <math>\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{12}</math>, <math>3\sqrt{3}</math>, <math>4\sqrt{3}</math>
 
:d) <math>\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{12}</math>, <math>3\sqrt{3}</math>, <math>4\sqrt{3}</math>
 
:e) <math>\sqrt{5}</math>, <math>\sqrt{20}</math>, <math>4\sqrt{5}</math>
 
:e) <math>\sqrt{5}</math>, <math>\sqrt{20}</math>, <math>4\sqrt{5}</math>
−
:f) <math>\cos(\pi)\,</math>, <math>\sin\frac{\pi}{2}\right)</math>, <math>\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)</math>,  <math>\cos 0</math>
+
:f) <math>\cos(\pi)\,</math>, <math>\sin\frac{\pi}{2}</math>, <math>\sin-\frac{\pi}{2}</math>,  <math>\cos 0</math>
 
:g) <math>\frac{1}{8}</math>, <math>\frac{1}{16}</math>, <math>\frac{1}{32}</math>, <math>\frac{1}{64}</math>
 
:g) <math>\frac{1}{8}</math>, <math>\frac{1}{16}</math>, <math>\frac{1}{32}</math>, <math>\frac{1}{64}</math>
 
:h) <math>\log_2 2\,</math>, <math>\log_2 4\,</math>, <math>\log_2 16\,</math>, <math>\log_2 256\,</math>,  
 
:h) <math>\log_2 2\,</math>, <math>\log_2 4\,</math>, <math>\log_2 16\,</math>, <math>\log_2 256\,</math>,  

A lap 2016. október 13., 20:29-kori változata

Lásd még: Matematikai előismeretek

Mértani sorozat

(a1, a2, a3, a4, ... )

mértani sorozat, ha van olyan q szám, hogy

\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}=\frac{a_5}{a_4}=...=q.

Ilyenkor q-t a mértani sorozat kvociensének nevezzük. Megengedjük, hogy q=0 legyen, ekkor a fenti helyett

a1 tetszőleges, a2 = a3 = ... = 0

Ha (an) mértani sorozat, akkor

a_n=a_1\cdot q^{n-1}\,

nemnegatív tagokra:

\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}=a_n, minden n-re, ha an − 1 is a sorozat tagja.
\sqrt{a_{n-k}\cdot a_{n+k}}=a_n, minden n-re és k-ra, ha an − k is a sorozat tagja.

Egy nemnegatív sorozat pontosan akkor mértani sorozat, ha bármely egymás követő három tagja közül a második a számtani közepe az elsőnek és a harmadiknak. Általában pedig pontosan akkor mértani, ha a_n=a_1\cdot q^{n-1}\, teljesül rá.

A sorozat első n tagjának összege, azaz Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an a következőképpen számítható ki:

S_n=a_1\frac{q^{n}-1}{q-1}

Példák

1. Mértani sorozatot alkotnak-e az alábbi sorozatok? Ha igen, mi a kvóciensük és az első tagjuk? Ha nem, melyik három egymást követő tag hibádzik?

a) 0,5; 1; 1,5
b) 2, 4, 8, 16
c) -2, 4, -8, 16, -32
d) \sqrt{3}, \sqrt{12}, 3\sqrt{3}, 4\sqrt{3}
e) \sqrt{5}, \sqrt{20}, 4\sqrt{5}
f) \cos(\pi)\,, \sin\frac{\pi}{2}, \sin-\frac{\pi}{2}, cos0
g) \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}
h) \log_2 2\,, \log_2 4\,, \log_2 16\,, \log_2 256\,,
i) \log_2 2\,, \log_2 \frac{1}{4}\,, \log_2 16\,, \log_2 \frac{1}{256}\,,
j) \log_4 3\,, \log_4 9\,, \log_4 81\,,
k) \log_5 \frac{1}{9}, log59, \log_5 \frac{1}{9}\,, \log_5 9\,

2. Adjuk meg a b és c számok értékét úgy, hogy az a_n=b\cdot c^n sorozat

a) szigorúan monoton növekvő,
b) szigorúan monoton csökkenő (fogyó),
c) monoton növekvő,
d) monoton csökkenő (fogyó),
e) periodikus,
f) konstans,
g*) csupa pozitív értékű,
h*) csupa negatív értékű

legyen.

3. Számítsuk ki az n-edik tagot és az első n tag összegét!

a) a1 = 5, q = − 4, n = 3
b) a2 = 6, q = 2, n = 5
c) a3 = 6, q = − 3, n = 4
d) a_3=\frac{7}{4}, q=\frac{1}{2}, n = 1
e) a_1=\log_7 \frac{1}{2}, q = 3, n = 3
f) a_1=\log_2 \sqrt{2}, q=\log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}}, n = 4
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematikai_el%C5%91ismeretek_7.&oldid=12024”
Személyes eszközök