Pontbeli határérték, folytonosság
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Néhány topologikus fogalom) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Néhány topologikus fogalom) |
||
10. sor: | 10. sor: | ||
*'''torlódási pontjának''' nevezzük, ha | *'''torlódási pontjának''' nevezzük, ha | ||
: <math>\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset</math> | : <math>\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset</math> | ||
− | (ill. ekvivalens módon: B<sub>r</sub>(''u'')\{u} ∩ '' | + | (ill. ekvivalens módon: (B<sub>r</sub>(''u'')\{u}) ∩ ''H'' végtelen) jelben: <math>u\in H'</math>. |
* '''izolált pontjának''' nevezzük, ha ''u'' ∈ ''H'', de nem torlódási pontja ''H''-nak. | * '''izolált pontjának''' nevezzük, ha ''u'' ∈ ''H'', de nem torlódási pontja ''H''-nak. | ||
* '''belső pontjának''' nevezzük, ha | * '''belső pontjának''' nevezzük, ha | ||
:<math>\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H</math> | :<math>\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H</math> | ||
+ | jelben: <math>u\in \mathrm{int}\,H</math>. | ||
* '''határpontjának''' nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének. | * '''határpontjának''' nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének. | ||
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' ∈ Dom(''f'') pontban, ha | '''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' ∈ Dom(''f'') pontban, ha | ||
:<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math> | :<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math> |
A lap 2020. október 27., 21:46-kori változata
Folytonosság és határérték
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
Néhány topologikus fogalom
Ha H ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az H
- torlódási pontjának nevezzük, ha
(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: .
- izolált pontjának nevezzük, ha u ∈ H, de nem torlódási pontja H-nak.
- belső pontjának nevezzük, ha
jelben: .
- határpontjának nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha