Pontbeli határérték, folytonosság

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Néhány topologikus fogalom)
(Néhány topologikus fogalom)
10. sor: 10. sor:
 
*'''torlódási pontjának''' nevezzük, ha  
 
*'''torlódási pontjának''' nevezzük, ha  
 
: <math>\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset</math>
 
: <math>\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset</math>
(ill. ekvivalens módon: B<sub>r</sub>(''u'')\{u} &cap; ''A'' n végtelen)
+
(ill. ekvivalens módon: (B<sub>r</sub>(''u'')\{u}) &cap; ''H'' végtelen) jelben: <math>u\in H'</math>.
 
* '''izolált pontjának''' nevezzük, ha ''u'' &isin; ''H'', de nem torlódási pontja ''H''-nak.
 
* '''izolált pontjának''' nevezzük, ha ''u'' &isin; ''H'', de nem torlódási pontja ''H''-nak.
 
* '''belső pontjának''' nevezzük, ha
 
* '''belső pontjának''' nevezzük, ha
 
:<math>\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H</math>
 
:<math>\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H</math>
 +
jelben: <math>u\in \mathrm{int}\,H</math>.
 
* '''határpontjának''' nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.
 
* '''határpontjának''' nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.
  
 
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' &isin; Dom(''f'') pontban, ha  
 
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' &isin; Dom(''f'') pontban, ha  
 
:<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math>
 
:<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math>

A lap 2020. október 27., 21:46-kori változata

Folytonosság és határérték

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha

\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))

Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.

Néhány topologikus fogalom

Ha HR valós számhalmaz, akkor az u\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}} pontot az H

  • torlódási pontjának nevezzük, ha
\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset

(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: u\in H'.

  • izolált pontjának nevezzük, ha uH, de nem torlódási pontja H-nak.
  • belső pontjának nevezzük, ha
\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H

jelben: u\in \mathrm{int}\,H.

  • határpontjának nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha

\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))
Személyes eszközök