Pontbeli határérték, folytonosság
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példa) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
||
52. sor: | 52. sor: | ||
# létezik <math>\scriptstyle{\overline{f}}:\mathrm{Dom}(f)\cup\{u\}\to \mathbf{R}</math>, <math>\scriptstyle{\overline{f}}\in\mathrm{C}(u)</math>, hogy | # létezik <math>\scriptstyle{\overline{f}}:\mathrm{Dom}(f)\cup\{u\}\to \mathbf{R}</math>, <math>\scriptstyle{\overline{f}}\in\mathrm{C}(u)</math>, hogy | ||
#:<math>\overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}</math> és <math>\overline{f}(u)=A\,</math> | #:<math>\overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}</math> és <math>\overline{f}(u)=A\,</math> | ||
+ | ===Szakadás=== | ||
+ | '''A folytonosság Heine-féle jellemzése:''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha | ||
+ | :<math>(\forall (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+})\;x_n\to u\;\Rightarrow\;f(x_n)\to f(u)</math> | ||
+ | |||
+ | Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, amellyel a nem-folytonosságot jellemezni tudjuk: | ||
+ | |||
+ | '''Pontbeli nem-folytonosság jellemzése.''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha | ||
+ | :létezik olyan <math>(x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+}</math> sorozat, hogy bár <math>x_n\to u</math>, de <math>f(x_n)\not\to f(u)</math>. | ||
+ | |||
+ | '''Definíció.''' <math>f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}</math>, <math>u\in \mathbf{R}\cap \mathrm{Dom}(f)'</math>. Azt mondjuk, hogy ''f''-nek szakadása van ''u''-ban, ha vagy ott nincs értelmezve vagy nem folytonos. |
A lap 2020. október 27., 23:30-kori változata
Tartalomjegyzék |
Folytonosság és határérték
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha
jelben: .
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
Néhány topologikus fogalom
Ha H ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az H
- torlódási pontjának nevezzük, ha
(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: .
- izolált pontjának nevezzük, ha , de .
- belső pontjának nevezzük, ha
jelben: .
- határpontjának nevezzük, ha és .
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.
Példa
1. a) Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?
1. b) Folytonos-e az inverze?
()
Határérték
Definíció. Legyen f: R R függvény, u ∈ Dom(f)' és A ∈ u ∈ . Ekkor
Tétel A. -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke --
Legyen és , ekkor a következők ekvivalensek egymással:
- vagy u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy és .
******************* ******************* * Dom(f)' * iz * lim, C * * * ******************* ******************* Dom(f)
Tétel B. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető, megszüntethető szakadás -- Legyen , és A véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.
- létezik , , hogy
- és
Szakadás
A folytonosság Heine-féle jellemzése: Az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, amellyel a nem-folytonosságot jellemezni tudjuk:
Pontbeli nem-folytonosság jellemzése. Az f: R R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
- létezik olyan sorozat, hogy bár , de .
Definíció. , . Azt mondjuk, hogy f-nek szakadása van u-ban, ha vagy ott nincs értelmezve vagy nem folytonos.