Pontbeli határérték, folytonosság
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonosság és határérték) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
||
38. sor: | 38. sor: | ||
Legyen <math>f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}</math> és <math>u\in\mathrm{Dom}(f)</math>, ekkor a következők ekvivalensek egymással: | Legyen <math>f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}</math> és <math>u\in\mathrm{Dom}(f)</math>, ekkor a következők ekvivalensek egymással: | ||
# <math>f\in \mathrm{C}(u)</math> | # <math>f\in \mathrm{C}(u)</math> | ||
− | # ''u'' izolált pontja Dom(''f'')-nek, vagy <math>u\in\mathrm{Dom}(f)'</math> és <math>\exists \lim\limits_u f=f(u)</math>. | + | # vagy ''u'' izolált pontja Dom(''f'')-nek, vagy <math>u\in\mathrm{Dom}(f)'</math> és <math>\exists \lim\limits_u f=f(u)</math>. |
'''Tétel B.''' -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető -- Legyen ''u'' a Dom(''f'') véges torlódási pontja és ''v'' véges ('''R'''-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek. | '''Tétel B.''' -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető -- Legyen ''u'' a Dom(''f'') véges torlódási pontja és ''v'' véges ('''R'''-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek. |
A lap 2020. október 27., 23:11-kori változata
Tartalomjegyzék |
Folytonosság és határérték
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha
jelben: .
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
Néhány topologikus fogalom
Ha H ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az H
- torlódási pontjának nevezzük, ha
(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: .
- izolált pontjának nevezzük, ha , de .
- belső pontjának nevezzük, ha
jelben: .
- határpontjának nevezzük, ha és .
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.
Példa
1. a) Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?
1. b) Folytonos-e az inverze?
Határérték
Definíció. Legyen f: R R függvény, u ∈ Dom(f)' és A ∈ u ∈ . Ekkor
Tétel A. -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke --
Legyen és , ekkor a következők ekvivalensek egymással:
- vagy u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy és .
Tétel B. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető -- Legyen u a Dom(f) véges torlódási pontja és v véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.
- létezik az f-nek olyan u-ban folytonos kiterjeszétse (vagy módosítása), hogy
- és