Pontbeli határérték, folytonosság
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Néhány topologikus fogalom) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
||
32. sor: | 32. sor: | ||
'''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény, ''u'' ∈ Dom(''f'')' és ''A'' ∈ ''u'' ∈ <math>\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}</math>. Ekkor | '''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény, ''u'' ∈ Dom(''f'')' és ''A'' ∈ ''u'' ∈ <math>\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}</math>. Ekkor | ||
:<math>\exists \lim\limits_u f=A\;\Leftrightarrow\;\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u)\setminus\{u\})\subseteq B_\varepsilon(A)</math> | :<math>\exists \lim\limits_u f=A\;\Leftrightarrow\;\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u)\setminus\{u\})\subseteq B_\varepsilon(A)</math> | ||
+ | |||
+ | ''Tétel A.''' -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke -- Legyen <math>f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}</math> és <math>u\in\mathrm{Dom}(f)</math>, ekkor a következők ekvivalensek egymással: | ||
+ | # ''f'' folytonos ''u''-ban | ||
+ | # ''u'' izolált pontja Dom(''f'')-nek, vagy <math>u\in\mathrm{Dom}(f)'</math> és <math>\exists \lim\limits_u f=f(u)</math>. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel B.''' -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető -- Legyen ''u'' a Dom(''f'') véges torlódási pontja és ''v'' véges ('''R'''-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek. | ||
+ | # <math>\exists\lim\limits_{u}f=v\,</math> | ||
+ | # létezik az ''f''-nek olyan <math>\scriptstyle{\overline{f}}</math> ''u''-ban folytonos kiterjeszétse (vagy módosítása), hogy | ||
+ | #:<math>\overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}</math> és <math>\overline{f}(u)=v\,</math> |
A lap 2020. október 27., 22:09-kori változata
Tartalomjegyzék |
Folytonosság és határérték
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
Néhány topologikus fogalom
Ha H ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az H
- torlódási pontjának nevezzük, ha
(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: .
- izolált pontjának nevezzük, ha , de .
- belső pontjának nevezzük, ha
jelben: .
- határpontjának nevezzük, ha és .
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.
Példa
1. a) Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?
1. b) Folytonos-e az inverze?
Határérték
Definíció. Legyen f: R R függvény, u ∈ Dom(f)' és A ∈ u ∈ . Ekkor
Tétel A.' -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke -- Legyen és , ekkor a következők ekvivalensek egymással:
- f folytonos u-ban
- u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy és .
Tétel B. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető -- Legyen u a Dom(f) véges torlódási pontja és v véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.
- létezik az f-nek olyan u-ban folytonos kiterjeszétse (vagy módosítása), hogy
- és