Pontbeli határérték, folytonosság

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Határérték)
(Néhány topologikus fogalom)
11. sor: 11. sor:
 
: <math>\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset</math>
 
: <math>\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset</math>
 
(ill. ekvivalens módon: (B<sub>r</sub>(''u'')\{u}) &cap; ''H'' végtelen) jelben: <math>u\in H'</math>.
 
(ill. ekvivalens módon: (B<sub>r</sub>(''u'')\{u}) &cap; ''H'' végtelen) jelben: <math>u\in H'</math>.
* '''izolált pontjának''' nevezzük, ha ''u'' &isin; ''H'', de nem torlódási pontja ''H''-nak.
+
* '''izolált pontjának''' nevezzük, ha <math>u\in H</math>, de <math>u \not\in H'</math>.
 
* '''belső pontjának''' nevezzük, ha
 
* '''belső pontjának''' nevezzük, ha
 
:<math>\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H</math>
 
:<math>\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H</math>
 
jelben: <math>u\in \mathrm{int}\,H</math>.
 
jelben: <math>u\in \mathrm{int}\,H</math>.
* '''határpontjának''' nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.
+
* '''határpontjának''' nevezzük, ha <math>u\in H'</math> és <math>u\in \overset{H}'</math>.
  
 
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.
 
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.

A lap 2020. október 27., 22:04-kori változata

Tartalomjegyzék

Folytonosság és határérték

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha

\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))

Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.

Néhány topologikus fogalom

Ha HR valós számhalmaz, akkor az u\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}} pontot az H

  • torlódási pontjának nevezzük, ha
\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset

(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: u\in H'.

  • izolált pontjának nevezzük, ha u\in H, de u \not\in H'.
  • belső pontjának nevezzük, ha
\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H

jelben: u\in \mathrm{int}\,H.

  • határpontjának nevezzük, ha u\in H' és u\in \overset{H}'.

A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.

Példa

1. a) Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?

\{1\}\cup[2,3)

1. b) Folytonos-e az inverze?

f(x)=\left\{\begin{matrix}
-x^2-1, & \mathrm{ha} &  x<0\\
0, & \mathrm{ha} & x= 0\\
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
\end{matrix}\right.

Határérték

Definíció. Legyen f: R \supset\!\to R függvény, u ∈ Dom(f)' és Au\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}. Ekkor

\exists \lim\limits_u f=A\;\Leftrightarrow\;\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u)\setminus\{u\})\subseteq B_\varepsilon(A)
Személyes eszközök