Pontbeli határérték, folytonosság
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonosság és határérték) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Néhány topologikus fogalom) |
||
9. sor: | 9. sor: | ||
Ha ''H'' ⊆ '''R''' valós számhalmaz, akkor az ''u'' ∈ <math>\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}</math> pontot az ''H'' | Ha ''H'' ⊆ '''R''' valós számhalmaz, akkor az ''u'' ∈ <math>\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}</math> pontot az ''H'' | ||
*'''torlódási pontjának''' nevezzük, ha | *'''torlódási pontjának''' nevezzük, ha | ||
− | : <math>\forall r>0\;B_r(u)\setminus\{u\}\cap H\ne \emptyset</math> | + | : <math>\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset</math> |
(ill. ekvivalens módon: B<sub>r</sub>(''u'')\{u} ∩ ''A'' n végtelen) | (ill. ekvivalens módon: B<sub>r</sub>(''u'')\{u} ∩ ''A'' n végtelen) | ||
* '''izolált pontjának''' nevezzük, ha ''u'' ∈ ''H'', de nem torlódási pontja ''H''-nak. | * '''izolált pontjának''' nevezzük, ha ''u'' ∈ ''H'', de nem torlódási pontja ''H''-nak. |
A lap 2020. október 27., 21:44-kori változata
Folytonosság és határérték
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
Néhány topologikus fogalom
Ha H ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az H
- torlódási pontjának nevezzük, ha
(ill. ekvivalens módon: Br(u)\{u} ∩ A n végtelen)
- izolált pontjának nevezzük, ha u ∈ H, de nem torlódási pontja H-nak.
- belső pontjának nevezzük, ha
- határpontjának nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha