Pontbeli határérték, folytonosság

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Néhány topologikus fogalom)
(Példák)
 
(egy szerkesztő 21 közbeeső változata nincs mutatva)
3. sor: 3. sor:
 
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' &isin; Dom(''f'') pontban, ha  
 
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' &isin; Dom(''f'') pontban, ha  
 
:<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math>
 
:<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math>
 +
jelben: <math>f\in \mathrm{C}(u)</math>.
  
 
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(''f'') pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(''f'') torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
 
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(''f'') pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(''f'') torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
15. sor: 16. sor:
 
:<math>\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H</math>
 
:<math>\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H</math>
 
jelben: <math>u\in \mathrm{int}\,H</math>.
 
jelben: <math>u\in \mathrm{int}\,H</math>.
* '''határpontjának''' nevezzük, ha <math>u\in H'</math> és <math>u\in \overset{H}'</math>.
+
* '''határpontjának''' nevezzük, ha <math>u\in H'</math> és <math>u\in \overline{H}'</math>.
  
 
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.
 
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.
28. sor: 29. sor:
 
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
 
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
 
\end{matrix}\right.</math>
 
\end{matrix}\right.</math>
 +
 +
(<math>f(x)=\mathrm{sgn}(x)\cdot(x^2+1)</math>)
  
 
===Határérték===
 
===Határérték===
 
'''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény, ''u'' &isin; Dom(''f'')' és ''A'' &isin; ''u'' &isin; <math>\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}</math>. Ekkor
 
'''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény, ''u'' &isin; Dom(''f'')' és ''A'' &isin; ''u'' &isin; <math>\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}</math>. Ekkor
 
:<math>\exists \lim\limits_u f=A\;\Leftrightarrow\;\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u)\setminus\{u\})\subseteq B_\varepsilon(A)</math>
 
:<math>\exists \lim\limits_u f=A\;\Leftrightarrow\;\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u)\setminus\{u\})\subseteq B_\varepsilon(A)</math>
 +
 +
'''Tétel A.''' -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke --
 +
 +
Legyen <math>f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}</math> és <math>u\in\mathrm{Dom}(f)</math>, ekkor a következők ekvivalensek egymással:
 +
# <math>f\in \mathrm{C}(u)</math>
 +
# vagy ''u'' izolált pontja Dom(''f'')-nek, vagy <math>u\in\mathrm{Dom}(f)'</math> és <math>\exists \lim\limits_u f=f(u)</math>.
 +
        *******************
 +
*******************      * Dom(f)'
 +
*  iz  *  lim, C *      *
 +
*      *******************
 +
*******************
 +
Dom(f)
 +
 +
'''Tétel B.''' -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető, megszüntethető szakadás -- Legyen <math>f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}</math>, <math>u\in \mathbf{R}\cap \mathrm{Dom}(f)'</math> és ''A'' véges ('''R'''-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.
 +
# <math>\exists\lim\limits_{u}f=A\,</math>
 +
# létezik <math>\scriptstyle{\overline{f}}:\mathrm{Dom}(f)\cup\{u\}\to \mathbf{R}</math>, <math>\scriptstyle{\overline{f}}\in\mathrm{C}(u)</math>, hogy
 +
#:<math>\overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}</math> és <math>\overline{f}(u)=A\,</math>
 +
===Szakadás===
 +
'''A folytonosság Heine-féle jellemzése:''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha
 +
:<math>(\forall (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+})\;x_n\to u\;\Rightarrow\;f(x_n)\to f(u)</math>
 +
 +
Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, amellyel a nem-folytonosságot jellemezni tudjuk:
 +
 +
'''Pontbeli nem-folytonosság jellemzése.''' Az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha
 +
:létezik olyan <math>(x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+}</math> sorozat, hogy bár <math>x_n\to u</math>, de <math>f(x_n)\not\to f(u)</math>.
 +
 +
'''Definíció.''' <math>f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}</math>, <math>u\in \mathbf{R}\cap \mathrm{Dom}(f)'</math>. Azt mondjuk, hogy ''f''-nek szakadása van ''u''-ban, ha vagy <math>u\not\in\mathrm{Dom}(f)</math> vagy <math>f\not\in\mathrm{C}(u)</math>.
 +
 +
====Példa====
 +
'''2.''' sgn nem folytonos 0-ban,
 +
 +
'''3.''' <math>\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=+\infty</math>, <math>\not\exists\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x},</math>, <math>\lim\limits_{x\to 0+}\dfrac{1}{x}=+\infty</math>, <math>\lim\limits_{x\to 0-}\dfrac{1}{x}=-\infty</math>,
 +
 +
'''4.''' <math>\not\exists\lim\limits_{x\to 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right),</math>
 +
 +
'''5.''' <math>\lim\limits_{x\to 0}x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right),</math>
 +
==Nevezetes határértékek==
 +
 +
:<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\,</math>
 +
:<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1\,</math>
 +
:<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{\mathrm{ln}(1+x)}{x}=1\,</math>
 +
:<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\,</math>
 +
:<math>\lim\limits_{x\to +\infty}\mathrm{arc\,tg}\,x=\frac{\pi}{2}</math>
 +
 +
===Példák===
 +
 +
:<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(4x)}{\sin(3x)}=?\,</math>
 +
 +
:<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{2x^2}-1}{x}=?\,</math>
 +
 +
:<math>\lim\limits_{x\to \infty}\frac{2\mathrm{arc\,tg}\,x + \pi}{2\mathrm{arc\,tg}\,3x +3\pi}</math>
 +
 +
==Differenciálhatóság==
 +
Legyen ''f'' valós-valós függvény, ''u'' &isin; Dom(''f'')&cap;Dom(''f'')'. Az ''f'' függvény differenciálható az ''u'' pontban, ha
 +
 +
'''1. Definíció''' -- létezik olyan &epsilon;: Dom(''f'') <math>\to</math> '''R''' függvény és olyan ''m'' &isin; '''R''' szám, hogy:
 +
# minden ''x'' &isin; Dom(''f'')-re
 +
#:''f''(''x'') = ''f''(''u'') + ''m''(''x'' - ''u'') + &epsilon;(''x'')(''x'' - ''u'') és
 +
# &epsilon;(''u'') = 0 és &epsilon; az ''u''-ban folytonos.
 +
 +
Ebben az esetben az ''f'' függvény ''u''-beli deriváltja ''m'' és jele f'(''u'')
 +
 +
'''2. Definíció''' -- létezik és véges a következő határérték:
 +
:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\quad\quad(*)</math>
 +
 +
Ekkor f'(''u'') maga a fenti határérték.
 +
 +
A két definíció ekvivalens, amit a következő egyenlőséggel lehet igazolni:
 +
:<math>\varepsilon(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x\ne u\\
 +
\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x=u\end{matrix}\right.</math>
 +
ahol ''A'' az ''m''-et jelöli, ha 1)-et tudjuk és 2)-t igazoljuk és lim<sub>x <math>\to</math> u</sub> (f(x)-f(u)/(x-u))-t, ha fordított a helyzet.
 +
 +
Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú. Ez a  a szelők meredekségének határértéke,
 +
 +
Az első definíció is szemléletes. Itt arról van szó, hogy a függvény felírható ''u'' körül egy lineárisan eltűnő és egy magasabb rendben eltűnő tag összegeként:
 +
:<math>\ell(x)=f(u)+m(x-u)</math>, a lineáris és <math>\varepsilon(x)(x-u)</math> a nemlineáris
 +
'''Példa.''' Igazoljuk, hogy
 +
:<math>f(x)=e^{\sin x}\,</math>
 +
differenciálható a 0-ban és deriváltja 1.
 +
 +
''Megoldás.'' Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x&ne;0. Ekkor
 +
:<math>
 +
\frac{e^{\sin x}-e^{\sin 0}}{x-0}=\frac{e^{\sin x}-1}{x}=\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\frac{x}{\sin x}</math>
 +
Ha most ''x'' <math>\to</math> 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek.
 +
 +
 +
'''Példa.''' Igazoljuk, hogy
 +
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x, & \mathrm{ha} & x\ne 0\\ 0, & \mathrm{ha} & x=0\end{matrix}\right.</math>
 +
differenciálható a 0-ban és deriváltja 1/4.
 +
 +
''Megoldás.'' Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x&ne;0. Ekkor
 +
:<math>
 +
\frac{\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x -0}{x-0}=\frac{1-\cos x}{x^2}-\frac{\frac{1}{4}\sin x}{x}</math>
 +
Ha most ''x'' <math>\to</math> 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4.

A lap jelenlegi, 2020. október 27., 22:52-kori változata

Tartalomjegyzék

Folytonosság és határérték

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha

\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))

jelben: f\in \mathrm{C}(u).

Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.

Néhány topologikus fogalom

Ha HR valós számhalmaz, akkor az u\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}} pontot az H

  • torlódási pontjának nevezzük, ha
\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset

(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: u\in H'.

  • izolált pontjának nevezzük, ha u\in H, de u \not\in H'.
  • belső pontjának nevezzük, ha
\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H

jelben: u\in \mathrm{int}\,H.

  • határpontjának nevezzük, ha u\in H' és u\in \overline{H}'.

A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.

Példa

1. a) Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?

\{1\}\cup[2,3)

1. b) Folytonos-e az inverze?

f(x)=\left\{\begin{matrix}
-x^2-1, & \mathrm{ha} &  x<0\\
0, & \mathrm{ha} & x= 0\\
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
\end{matrix}\right.

(f(x)=\mathrm{sgn}(x)\cdot(x^2+1))

Határérték

Definíció. Legyen f: R \supset\!\to R függvény, u ∈ Dom(f)' és Au\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}. Ekkor

\exists \lim\limits_u f=A\;\Leftrightarrow\;\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u)\setminus\{u\})\subseteq B_\varepsilon(A)

Tétel A. -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke --

Legyen f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R} és u\in\mathrm{Dom}(f), ekkor a következők ekvivalensek egymással:

  1. f\in \mathrm{C}(u)
  2. vagy u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy u\in\mathrm{Dom}(f)' és \exists \lim\limits_u f=f(u).
        *******************
*******************       * Dom(f)'
*  iz   *  lim, C *       *
*       *******************
*******************
Dom(f)

Tétel B. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető, megszüntethető szakadás -- Legyen f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}, u\in \mathbf{R}\cap \mathrm{Dom}(f)' és A véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.

  1. \exists\lim\limits_{u}f=A\,
  2. létezik \scriptstyle{\overline{f}}:\mathrm{Dom}(f)\cup\{u\}\to \mathbf{R}, \scriptstyle{\overline{f}}\in\mathrm{C}(u), hogy
    \overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}} és \overline{f}(u)=A\,

Szakadás

A folytonosság Heine-féle jellemzése: Az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

(\forall (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+})\;x_n\to u\;\Rightarrow\;f(x_n)\to f(u)

Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, amellyel a nem-folytonosságot jellemezni tudjuk:

Pontbeli nem-folytonosság jellemzése. Az f: R \supset\!\to R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

létezik olyan (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+} sorozat, hogy bár x_n\to u, de f(x_n)\not\to f(u).

Definíció. f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}, u\in \mathbf{R}\cap \mathrm{Dom}(f)'. Azt mondjuk, hogy f-nek szakadása van u-ban, ha vagy u\not\in\mathrm{Dom}(f) vagy f\not\in\mathrm{C}(u).

Példa

2. sgn nem folytonos 0-ban,

3. \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=+\infty, \not\exists\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x},, \lim\limits_{x\to 0+}\dfrac{1}{x}=+\infty, \lim\limits_{x\to 0-}\dfrac{1}{x}=-\infty,

4. \not\exists\lim\limits_{x\to 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right),

5. \lim\limits_{x\to 0}x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right),

Nevezetes határértékek

\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\,
\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1\,
\lim\limits_{x\to 0} \frac{\mathrm{ln}(1+x)}{x}=1\,
\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\,
\lim\limits_{x\to +\infty}\mathrm{arc\,tg}\,x=\frac{\pi}{2}

Példák

\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(4x)}{\sin(3x)}=?\,
\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{2x^2}-1}{x}=?\,
\lim\limits_{x\to \infty}\frac{2\mathrm{arc\,tg}\,x + \pi}{2\mathrm{arc\,tg}\,3x +3\pi}

Differenciálhatóság

Legyen f valós-valós függvény, u ∈ Dom(f)∩Dom(f)'. Az f függvény differenciálható az u pontban, ha

1. Definíció -- létezik olyan ε: Dom(f) \to R függvény és olyan mR szám, hogy:

  1. minden x ∈ Dom(f)-re
    f(x) = f(u) + m(x - u) + ε(x)(x - u) és
  2. ε(u) = 0 és ε az u-ban folytonos.

Ebben az esetben az f függvény u-beli deriváltja m és jele f'(u)

2. Definíció -- létezik és véges a következő határérték:

\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\quad\quad(*)

Ekkor f'(u) maga a fenti határérték.

A két definíció ekvivalens, amit a következő egyenlőséggel lehet igazolni:

\varepsilon(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x\ne u\\
\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x=u\end{matrix}\right.

ahol A az m-et jelöli, ha 1)-et tudjuk és 2)-t igazoljuk és limx \to u (f(x)-f(u)/(x-u))-t, ha fordított a helyzet.

Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú. Ez a a szelők meredekségének határértéke,

Az első definíció is szemléletes. Itt arról van szó, hogy a függvény felírható u körül egy lineárisan eltűnő és egy magasabb rendben eltűnő tag összegeként:

\ell(x)=f(u)+m(x-u), a lineáris és \varepsilon(x)(x-u) a nemlineáris

Példa. Igazoljuk, hogy

f(x)=e^{\sin x}\,

differenciálható a 0-ban és deriváltja 1.

Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor


\frac{e^{\sin x}-e^{\sin 0}}{x-0}=\frac{e^{\sin x}-1}{x}=\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\frac{x}{\sin x}

Ha most x \to 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek.


Példa. Igazoljuk, hogy

f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x, & \mathrm{ha} & x\ne 0\\ 0, & \mathrm{ha} & x=0\end{matrix}\right.

differenciálható a 0-ban és deriváltja 1/4.

Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor


\frac{\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x -0}{x-0}=\frac{1-\cos x}{x^2}-\frac{\frac{1}{4}\sin x}{x}

Ha most x \to 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4.

Személyes eszközök