Pontbeli határérték, folytonosság
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példa) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Nevezetes határértékek) |
||
81. sor: | 81. sor: | ||
===Példák=== | ===Példák=== | ||
− | :<math>\ | + | :<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(4x)}{\sin(3x)}=?\,</math> |
− | :<math>\lim\limits_{x\to | + | :<math>\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{2x^2}-1}{x}=?\,</math> |
:<math>\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\mathrm{arc\,tg}\,x + 4\pi}{\mathrm{arc\,tg}\,3x +\pi}</math> | :<math>\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\mathrm{arc\,tg}\,x + 4\pi}{\mathrm{arc\,tg}\,3x +\pi}</math> |
A lap 2020. október 27., 23:45-kori változata
Tartalomjegyzék |
Folytonosság és határérték
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha
jelben: .
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
Néhány topologikus fogalom
Ha H ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az H
- torlódási pontjának nevezzük, ha
(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: .
- izolált pontjának nevezzük, ha , de .
- belső pontjának nevezzük, ha
jelben: .
- határpontjának nevezzük, ha és .
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.
Példa
1. a) Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?
1. b) Folytonos-e az inverze?
()
Határérték
Definíció. Legyen f: R R függvény, u ∈ Dom(f)' és A ∈ u ∈ . Ekkor
Tétel A. -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke --
Legyen és , ekkor a következők ekvivalensek egymással:
- vagy u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy és .
******************* ******************* * Dom(f)' * iz * lim, C * * * ******************* ******************* Dom(f)
Tétel B. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető, megszüntethető szakadás -- Legyen , és A véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.
- létezik , , hogy
- és
Szakadás
A folytonosság Heine-féle jellemzése: Az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, amellyel a nem-folytonosságot jellemezni tudjuk:
Pontbeli nem-folytonosság jellemzése. Az f: R R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
- létezik olyan sorozat, hogy bár , de .
Definíció. , . Azt mondjuk, hogy f-nek szakadása van u-ban, ha vagy vagy .
Példa
2. sgn nem folytonos 0-ban,
3. , , , ,
4.
5.