Pontbeli határérték, folytonosság

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Folytonosság és határérték)
(Folytonosság és határérték)
1. sor: 1. sor:
 
==Folytonosság és határérték==
 
==Folytonosság és határérték==
 +
 +
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' &isin; Dom(''f'') pontban, ha
 +
:<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math>
 +
 +
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(''f'') pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(''f'') torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
 +
 +
===Néhány topologikus fogalom===
 +
Ha ''H'' &sube; '''R''' valós számhalmaz, akkor az ''u'' &isin; <math>\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}</math> pontot az ''H''
 +
*'''torlódási pontjának''' nevezzük, ha
 +
: <math>\forall r>0\;B_r(u)\setminus\{u\}\cap H\ne \emptyset</math>
 +
(ill. ekvivalens módon: B<sub>r</sub>(''u'')\{u} &cap; ''A'' n végtelen)
 +
* '''izolált pontjának''' nevezzük, ha ''u'' &isin; ''H'', de nem torlódási pontja ''H''-nak.
 +
* '''belső pontjának''' nevezzük, ha
 +
:<math>\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H</math>
 +
* '''határpontjának''' nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.
  
 
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' &isin; Dom(''f'') pontban, ha  
 
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' &isin; Dom(''f'') pontban, ha  
 
:<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math>
 
:<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math>

A lap 2020. október 27., 21:43-kori változata

Folytonosság és határérték

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha

\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))

Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.

Néhány topologikus fogalom

Ha HR valós számhalmaz, akkor az u\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}} pontot az H

  • torlódási pontjának nevezzük, ha
\forall r>0\;B_r(u)\setminus\{u\}\cap H\ne \emptyset

(ill. ekvivalens módon: Br(u)\{u} ∩ A n végtelen)

  • izolált pontjának nevezzük, ha uH, de nem torlódási pontja H-nak.
  • belső pontjának nevezzük, ha
\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H
  • határpontjának nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha

\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))
Személyes eszközök