Pontbeli határérték, folytonosság

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Folytonosság és határérték)
(Néhány topologikus fogalom)
9. sor: 9. sor:
 
Ha ''H'' &sube; '''R''' valós számhalmaz, akkor az ''u'' &isin; <math>\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}</math> pontot az ''H''
 
Ha ''H'' &sube; '''R''' valós számhalmaz, akkor az ''u'' &isin; <math>\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}</math> pontot az ''H''
 
*'''torlódási pontjának''' nevezzük, ha  
 
*'''torlódási pontjának''' nevezzük, ha  
: <math>\forall r>0\;B_r(u)\setminus\{u\}\cap H\ne \emptyset</math>
+
: <math>\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset</math>
 
(ill. ekvivalens módon: B<sub>r</sub>(''u'')\{u} &cap; ''A'' n végtelen)
 
(ill. ekvivalens módon: B<sub>r</sub>(''u'')\{u} &cap; ''A'' n végtelen)
 
* '''izolált pontjának''' nevezzük, ha ''u'' &isin; ''H'', de nem torlódási pontja ''H''-nak.
 
* '''izolált pontjának''' nevezzük, ha ''u'' &isin; ''H'', de nem torlódási pontja ''H''-nak.

A lap 2020. október 27., 21:44-kori változata

Folytonosság és határérték

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha

\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))

Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.

Néhány topologikus fogalom

Ha HR valós számhalmaz, akkor az u\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}} pontot az H

  • torlódási pontjának nevezzük, ha
\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset

(ill. ekvivalens módon: Br(u)\{u} ∩ A n végtelen)

  • izolált pontjának nevezzük, ha uH, de nem torlódási pontja H-nak.
  • belső pontjának nevezzük, ha
\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H
  • határpontjának nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha

\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))
Személyes eszközök